正の実数ａ，ｂ，ｃに対して，

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）^2−３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝−｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝≦０

より，

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）^2≦３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）

（等号はａ＝ｂ＝ｃのとき）などは，受験参考書に必ず書いてある．

　　ａ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^k（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^k（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）≧０　　　（シューアの不等式）

も，このコラムの読者であれば簡単に証明できるであろう．それでは，・・・

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【１】三角形に関する不等式（続き）

　三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，

　　３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≦（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＜４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

（証）ａ^2＋ｂ^2≧２ａｂ，ｂ^2＋ｃ^2≧２ｂｃ，ｃ^2＋ａ^2≧２ｃａを加えると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2≧ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

両辺に２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）を加えると

　　３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≦（ａ＋ｂ＋ｃ）^2

　また，（ａ，ｂ，ｃ）は三角形の３辺の長さなので，

　　（ａ−ｂ）^2＜ｃ^2，（ｂ−ｃ）^2＜ａ^2，（ｃ−ａ）^2＜ｂ^2

を加えると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＜２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

両辺に２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）を加えると

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＜４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

　そろそろ「算額」を卒業したいと思うが，・・・．

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【２】算額に関する思い出について

　一番有名なのは塩竃算額であるが，算額は思いの外沢山あるようだ．東洋数学は問題と結果のみといったが，余接定理などに相当する「法則」の固有の名前はあるようだ．

　これは話したことがあるかもしれないが，野田の清水公園に金剛院という寺院があった．ここに最上流の人々の奉納した算額があった．当時，数学を学ぶことを志していた私は，その寺の住職にお願いして，その算額を特別に見せてもらった．

　算額はもうほとんど判読不能であったが，この算額を見ながら数学を専攻するために努力することを誓った．

　今でも弱気の虫がうずいてくるとそこに行き，その時の覇気を想い出し，決して絶望しまいと言い聞かせることにしている．

　この算額はだれかが科学的方法を駆使して判読し，内容を解析したと聞いている．　　　（阪本ひろむ）

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