ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

さらに高次元化した

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

などが，本質的に算術平均Ａ（ａ^n）と幾何平均Ｇ（ａ^n）の差となっていることは，このコラムの読者であれば既におわかりであろう．

　ここで，受験参考書に必ず書いてある

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

という公式を思い出してもらいたい．

　これらの２次，３次の同次式

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

を並べて書くと，両者とも右辺には多項式Ｐkを重みとする平方の和の形

　　ΣＰk（ａi−ａj）^2

が現れていることに気づかされるだろう．前者ではＰk＝１，後者ではＰk＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２となっているというわけである．

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

は因数分解不可能であることがわかっていて，そのため，受験参考書には決して登場しないのであるが，それではせめて多項式の平方の和の形に表せないだろうか．

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【１】フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式

　実は，算術平均Ａ（ａ^n）と幾何平均Ｇ（ａ^n）については，フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式

　　ｎ｛Ａ（ａ^n）−Ｇ（ａ^n）｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・｝

の成り立つことが知られている．右辺はａ1，ａ2，・・・，ａnを置換して得られる値の総和である．

　また，このことから

　　Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）

の別証明が得られる．

　　Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・

　＝ΣＰ1（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ2（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ3（ａ1−ａ2）^2＋・・・

　＝Σ（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋・・・）（ａ1−ａ2）^2

　＝ΣＰ0（ａ1−ａ2）^2≧０

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【２】レムスの不等式（１８２０年）

　三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

（証）ａ＋ｂ−ｃ＝２ｘ，ｂ＋ｃ−ａ＝２ｙ，ｃ＋ａ−ｂ＝２ｚとおくと，

　　ａ＝ｚ＋ｘ，ｂ＝ｘ＋ｙ，ｃ＝ｙ＋ｚ

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

は算術・幾何平均の不等式

　　（ｘ＋ｙ）／２・（ｙ＋ｚ）／２・（ｚ＋ｘ）／２≧√ｘｙ√ｙｚ√ｚｘ＝ｘｙｚ

そのものに帰着される．

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【３】対称式の問題

　ここで，ａ，ｂ，ｃ，・・・はすべて正であると仮定したが，算術平均と幾何平均の大小関係については有名な不等式

　　Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）

が成り立つので，ｎ変数のｎ次正定値形式に関する問題であるし，また，基本対称式に関係した問題ということにもなろう．

　レムスの不等式も，３次対称式

　　ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2−６ａｂｃ≧０

である．対称式を

　　Σｘ，Σｘ^2，Σｘ^3，Σｘｙ，Σｘ^2ｙ，・・・

などで表すことにすると，レムスの不等式は

　　（Σｘ）（Σｘｙ）−９ｘｙｚ≧０

となる．

　ここでは，ｎ変数で３次以下の対称多項式Ｐn（ｘ，ｙ，ｚ）が非負となるための条件を考えてみる．

［１］Ｐ1（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ　→　λ≧０

［２］Ｐ2（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ^2＋μΣｘｙ　→　λ≧０，λ＋μ≧０

［３］Ｐ3（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ^2＋μΣｘｙ＋３νｘｙｚ　→　λ≧０，λ＋μ≧０，λ＋２μ＋ν≧０

［４］ｎ≧４となると必要十分条件は複雑になることは冒頭で述べたとおりである．

［参］大関清太「不等式」共立出版

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