置換多面体＝空間充填２（２^n−１）胞体の元素の形を求めてみたい．２^n＋２ｎ胞体の場合は基本単体の辺と超平面の交点を求めるだけなので簡単だったのだが，置換多面体の場合は超平面の数ｎ−１面がとなるのでかなり難しい．
その後，（その５０）−（その５４）の計算を試みたのであるが，頂点数が少なすぎると思われた．そこで，ｎ−１面とｎ（ｎ＋１）／２本の辺との交点の計算方法について再考してみたい．
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【１】ｎ次元の正単体の基本単体の分割
ｎ次元正単体の基本単体の座標は
（０，０，・・・，０）
（ａ1，０，・・・，０）
（ａ1，ａ2，０，・・・０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn-1，０）
（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn-1，ａn）
である．
切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
（ｂ1，・・・，ｂn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）＝ｂ
を通る．
Ｐ0Ｐn＝（ａ1，ａ2，・・・，ａn）＝ｃ0
Ｐ1Ｐn＝（０，ａ2，ａ3，・・・，ａn）＝ｃ1
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Ｐn-1Ｐn＝（０，・・・，０，ａn）＝ｃn-1
であるから，それぞれの超平面はｃk・（ｘ−ｂ）＝０，すなわち
［０］ａ1（ｘ1−ｂ1）＋・・・＋ａn（ｘn−ｂn）＝０
［１］ａ2（ｘ2−ｂ2）＋・・・＋ａn（ｘn−ｂn）＝０
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［n-2］ａn-1（ｘn-1−ｂn-1）＋ａn（ｘn−ｂn）＝０
で表される．
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【２】ｐnを通る直線
直線ｐ0ｐnは
ｘ1／ａ1＝ｘ2／ａ2＝・・・＝ｘn／ａn＝ｋ
で表される．したがって，ｐ0ｐnと［０］の交点は
ｋ（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，・・・，ｘn＝ｋａn
ｐ0ｐnと［１］の交点は
ｋ（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，・・・，ｘn＝ｋａn
ｐ0ｐnと［n-2］の交点は
ｋ（ａn-1^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａn-1ｂn-1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，・・・，ｘn＝ｋａn
直線ｐ1ｐnは，
ｘ1／ａ1＝１，ｘ2／ａ2＝・・・＝ｘn／ａn＝ｋ
したがって，ｐ1ｐnと［０］の交点は
ｋ（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）−ａ1^2
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ｋａ2，・・・，ｘn＝ｋａn
ｐ1ｐnと［１］の交点は
ｋ（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ｋａ2，・・・，ｘn＝ｋａn
ｐ1ｐnと［n-2］の交点は
ｋ（ａn-1^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａn-1ｂn-1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ａ1，・・・，ｘn＝ｋａn
直線ｐ2ｐnは，
ｘ1／ａ1＝ｘ2／ａ2＝１，ｘ3／ａ3＝・・・＝ｘn／ａn＝ｋ
したがって，ｐ2ｐnと［０］の交点は
ｋ（ａ3^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）−ａ1^2−ａ2^2
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ａ2，ｘ3＝ｋａ3，・・・，ｘn＝ｋａn
ｐ2ｐnと［１］の交点は
ｋ（ａ3^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）−ａ2^2
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ａ2，ｘ3＝ｋａ3，・・・，ｘn＝ｋａn
ｐ2ｐnと［n-2］の交点は
ｋ（ａn-1^2＋・・・＋ａn^2）＝（ａn-1ｂn-1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ａ2，ｘ3＝ｋａ3，・・・，ｘn＝ｋａn
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【３】ｐ0を通る直線
次にｐ0を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ0ｐ1は
ｘ1／ａ1＝ｋ，ｘ2／ａ2＝・・・＝ｘn／ａn＝０
ですから，［０］との交点は
ｋ（ａ1^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，ｘ2＝０，・・・，ｘn＝０
となります．［１］〜［n-2］とは交わらないことがわかります．
直線ｐ0ｐ2は
ｘ1／ａ1＝ｘ2／ａ2＝ｋ，ｘ3／ａ3＝・・・＝ｘn／ａn＝０
ですから，［０］との交点は
ｋ（ａ1^2＋ａ2^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝０，・・・，ｘn＝０
［１］との交点は
ｋ（ａ2^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝０，・・・，ｘn＝０
となります．［２］〜［n-2］とは交わらないことがわかります．
直線ｐ0ｐ3は
ｘ1／ａ1＝ｘ2／ａ2＝ｘ3／ａ3＝ｋ，ｘ4／ａ1＝・・・＝ｘn／ａn＝０
ですから，［０］との交点は
ｋ（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝ｋａ3，ｘ4＝０，・・・，ｘn＝０
［１］との交点は
ｋ（ａ2^2＋ａ3^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ｋａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝ｋａ3，ｘ4＝０，・・・，ｘn＝０
となります．［３］〜［n-2］とは交わらないことがわかります．
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【４】ｐ1を通る直線
次にｐ1を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ1ｐ2は
ｘ1／ａ1＝１，ｘ2／ａ2＝ｋ，ｘ3／ａ3＝・・・＝ｘn／ａn＝０
ですから，［０］との交点は
ｋ（ａ2^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）−ａ1^2
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝０，・・・，ｘn＝０
［１］との交点は
ｋ（ａ2^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）−ａ1^2
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝０，・・・，ｘn＝０
となります．［２］〜［n-2］とは交わらないことがわかります．
直線ｐ1ｐ3は
ｘ1／ａ1＝１，ｘ2／ａ2＝ｘ3／ａ3＝ｋ，ｘ4／ａ4＝・・・＝ｘn／ａn＝０
ですから，［０］との交点は
ｋ（ａ2^2＋ａ3^2）＝（ａ1ｂ1＋・・・＋ａnｂn）−ａ1^2
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝ｋａ3，ｘ4＝０，・・・，ｘn＝０
［１］との交点は
ｋ（ａ2^2＋ａ3^2）＝（ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）
→ｘ1＝ａ1，ｘ2＝ｋａ2，ｘ3＝ｋａ3，ｘ4＝０，・・・，ｘn＝０
となります．［３］〜［n-2］とは交わらないことがわかります．
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【５】ｐiｐjと超平面の交点
直線ｐiｐjは
ｘ1／ａ1＝・・・＝ｘi／ａi＝１，ｘi+1／ａi+1＝・・・＝ｘj／ａj＝ｋ，ｘj+1／ａj+1＝・・・＝ｘn／ａn＝０
ですから，
ｃk・（ｘ−ｂ）＝０
の解ｘとして与えられます．
０≦ｘk≦ａk （ｋ＝１〜ｎ）
となることが交点となるための必要条件です．
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