与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２のとき１／３．λ＝μ＝ν＝−２のとき７．

　外分を考えるために

　　λ→−λ／（λ−１）

に置き換えると

　　Ｍ＝λ3−（λ−１）^3＝３λ^2−３λ＋１

より，一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

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　与えられた三角形△ＡＢＣ（辺の長さ２ａ，２ｂ，２ｃ）の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形△Ａ’Ｂ’Ｃ’によって，４つの小さな三角形ができる．

　周の長さをＬ0，Ｌ1，Ｌ2，Ｌ3とすると，不等式

［１］ｍａｘ（Ｌ1，Ｌ2，Ｌ3）≧ａ＋ｂ＋ｃ

　　等号はλ＝μ＝ν＝１（中点）のとき

［２］ｍａｘ（Ｌ1，Ｌ2，Ｌ3）≦Ｌ0

　　等号はλ＝μ＝ν＝１（中点）のとき

が成り立つ．

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