【１】三角形に関する不等式
まず，頭の体操からはじめましょう．「正三角形内の任意の点Ｐから，各辺までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，その和は，点Ｐの位置にかかわらず，常に一定である．」という問題を解いてみることにします．
正三角形の１辺の長さが１のとき，
ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＝√３／２
すなわち，この和が正三角形の高さと等しくなることは（小生が勝手に寄木細工定理と呼んでいるものを使って）簡単に求められます．
次に「正三角形内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3とすれば，その和が最大になるのは点Ｐが重心に一致するときである．」について考えてみることにしましょう．
求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．したがって，正三角形の１辺の長さが１のとき，
Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧√３
より，最小値√３が得られます．
「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．
さて，いよいよここからが本題です．三角不等式というと「三角形の２辺の和は他の１辺より長い」が思い起こされますが，与えられた三角形の外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒとおくと，
Ｒ≧２ｒ
となることを主張する，もうひとつの三角不等式を証明してみることにしましょう．
（問題）Ｒ≧２ｒ 等号は正三角形のときに限る．
（証明）
外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立ちます（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．
ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，
Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．
外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，
ａｂｃ＝４ＲΔ （正弦定理）
（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ （寄木細工定理）
ここで，
ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，
ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，
ｓ3＝ａｂｃ
とおくとき，Ｒ≧２ｒは
ｓ1ｓ3≧１６Δ^2
ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０
と同値．
実際にやってみると
ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０
ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．
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とはいってもこれを計算で出すのは大変ですし，この方法で高次元への拡張がうまくいくとはとても思えません．そこで，簡単な補助定理
ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっていること
ｂ）一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあること，・・・
を使うことによって，以下の不等式が得られます．
三角不等式：Ｒ≧２ｒは３次元空間へも拡張できて，４面体では
Ｒ≧３ｒ （４面体不等式）
三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．
また，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推されます．すなわち，ｎ次元単体でも同様に
Ｒ≧ｎｒ （単体不等式）
が成り立ちます．一般に，体積が与えられた単体において，頂点からある任意の点までの距離の和は，その単体が正則でありかつその点が重心であるときに極小値に達します．
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【２】エルデシュの不等式
三角不等式（Ｒ≧２ｒ）は，より一般的には「△ＡＢＣ内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3，各辺（またはその延長）までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，
Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧２（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）
等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐがその重心であるとき」
で与えられます．
これが「エルデシュの定理」で，この定理はＲ≧２ｒの一般化であると考えられます．エルデシュの定理は，簡単に
Ａ（Ｒ）≧２Ａ（ｒ）
と書けますが，Ａは算術平均の略で，Ｒの算術平均≧２（ｒの算術平均）という意味です．
エルデシュの定理は，算術平均Ａを調和平均Ｈ，幾何平均Ｇに置き換えても成り立ちます．すなわち，
Ｒ1Ｒ2Ｒ3≧８ｒ1ｒ2ｒ3
１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3≧２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2＋１／Ｒ3）
また，２次の基本対称式に対しては
Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2Ｒ3＋Ｒ3Ｒ1≧４（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）
も知られています．この種の不等式は美しい．しかし，証明は難しい・・・．
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【３】カザリノフの不等式
次に，三角形の代わりに４面体を用います．４面体のある内点から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ4，各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ4で表すことにします．
一般に，三角形の重心の性質は四面体に遺伝するので，
Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧３（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）
となるはずですが，ところが，これが成立しないのです．
４面体では
Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）
Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4
であることが示されています．
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【４】三角形に関する不等式（続き）
ｓｉｎα／２・ｓｉｎβ／２・ｓｉｎγ／２≦１／８
ｓｉｎα／２＋ｓｉｎβ／２＋ｓｉｎγ／２≦３／２
ｃｏｓα／２・ｃｏｓβ／２・ｃｏｓγ／２≦３√３／２
ｃｏｓα／２＋ｃｏｓβ／２＋ｃｏｓγ／２≦３／２
ｔａｎα／２・ｔａｎｃｏｓβ／２・ｔａｎγ／２≧√３
ｔａｎα／２＋ｔａｎｃｏｓβ／２＋ｔａｎγ／２≦√３／９
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