３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，２辺の和は他の１辺よりも大きいので，三角不等式
ａ＋ｂ＞ｃ，ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ
が成り立つ必要がある．このとき，・・・
［参］大関清太「不等式」共立出版・・・東海大学の桑田孝泰先生より謹呈していただいた．
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【１】レムスの不等式（１８２０年）
ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）
が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．
（証）ａ＋ｂ−ｃ＝２ｘ，ｂ＋ｃ−ａ＝２ｙ，ｃ＋ａ−ｂ＝２ｚとおくと，
ａ＝ｚ＋ｘ，ｂ＝ｘ＋ｙ，ｃ＝ｙ＋ｚ
ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）
は算術・幾何平均の不等式
（ｘ＋ｙ）／２・（ｙ＋ｚ）／２・（ｚ＋ｘ）／２≧√ｘｙ√ｙｚ√ｚｘ＝ｘｙｚ
そのものに帰着される．
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【２】鋭角三角形の不等式
三角形（ａ，ｂ，ｃ）が鋭角三角形になるための条件は
ａ^2＋ｂ^2＞ｃ^2，ｂ^2＋ｃ^2＞ａ^2，ｃ^2＋ａ^2＞ｂ^2
である．鋭角三角形（ａ，ｂ，ｃ）と三角形（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）とは１：１に対応するから，
ａ^2ｂ^2ｃ^2≧（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）
が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．
（証）ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2＝２ａｂｃｏｓＣ
ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2＝２ｂｃｃｏｓＡ
ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2＝２ｃａｃｏｓＢ
より
（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）＝８ａ^2ｂ^2ｃ^2ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ
したがって，鋭角三角形において
ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≦１／８
となることを証明すればよい．
２ｃｏｓＢｃｏｓＣ＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ｂ−Ｃ）
＝−ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（Ｂ−Ｃ）
ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１／２ｃｏｓＡ（−ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（Ｂ−Ｃ））≦１／２ｃｏｓＡ（１−ｃｏｓＡ）
これより極大値を計算すると１／８が得られる．
なお，
ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ≧３√３ （鋭角三角形）
ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ≦３√３／８ （三角形）
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【３】おまけの等式・不等式
任意の三角形に対して
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
が成り立つ．
この式は
γ＝π−（α＋β）
として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．
同様に，任意の三角形に対して
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２
ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２
ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２
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等式の世界も面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．
鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
前項より，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
したがって，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３
であるから，
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３ （等号は正三角形のとき）
を容易に証明することができる．
少し気分を変えて，次の不等式はどうだろうか？
（問題）
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８
（証明）
２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）
＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）
≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）
これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，
ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△
また，正弦法則
ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ
より，
ａｂｃ≦３√３Ｒ^3
と同値である．
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（問題）△ＡＢＣ内の１点をＰ，面積を△とすると，
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧２√（（√３）△）
等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐが重心のときに限る．
（証明）
ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形であるから，
Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）
等号は正ｎ角形に対してのみ成り立つ．
そこで，Ｐの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに関する対称点をＡ’，Ｂ’，Ｃ’とし，六角形ＡＣ’ＢＡ’ＣＢ’に不等式
Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）
を使えばよい．ここで，Ｌ＝２（ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ），Ｓ＝２△
なお，△≧√（２７）ｒ^2が成り立つので，
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧６ｒ
これは，エルデシュの定理の特別な場合になっていて，シュライバーの定理とも呼ばれる．
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