後で気づいたのであるが，（その５０）−（その５４）で述べたことは置換多面体の体積の検算に使えるかもしれない．すなわち，複体の単体（直角三角錐）分解である．となれば，正軸体版にも使えることになるので，その計算方法を示しておきたい．
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【１】正軸体版の場合
［１］切頂・切稜点
ｎ次元正軸体の頂点の座標は
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，
ｐ0（１，０，・・・，０）
ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）
ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
ｐn（０，０，・・・，０）
３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ
→ ｙ＝ｚ＋√２ｚ
ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，
３ｚ＋３√２ｚ＝１ → ｚ＝１／（３＋３√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．
４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ
→ ｚ＝ｗ＋√２ｗ
ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ
ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，
４ｗ＋６√２ｗ＝１ → ｗ＝１／（４＋６√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ
一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として
→ ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）
ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ω＝ω
となることが理解される．
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［２］中心から各面までの距離
切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn），ｘ1＝ｘ，ｘ2＝ｙ，・・・，ｘn＝ω
を通る．
ＰnＰ0＝（１，０，・・・，０）
ＰnＰ1＝（１／２，１／２，０，・・・，０）
ＰnＰn-1＝（１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るので，
ａ＝（１，０，・・・，０）＝（ａ1，ａ2，・・・，ａn）
ｑ＝（ｘ1，ｘ2，ｘ3，・・・，ｘn）
Ｘ＝（Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝ｘ1
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（１^2）^1/2
この平面ａ・ｘ−ｃ0＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は
Ｘ1＝−ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃ0／‖ａ‖^2
Ｘ2＝０，・・・
あるいは，直線
（Ｘ1−ａ1）／ａ1＝ｋとの交点を直接求めてみると
Ｘ1＝（ｋ＋１）ａ1，Ｙ＝０，・・・
−ａ1Ｘ1−ａ2Ｘ2−・・・−ｃ0＝０
に代入すると
（ｋ＋１）｛ａ1^2｝＝−ｃ0
ｋ＋１＝−ｃ0／（ａ1^2）
となって
Ｘ1＝−ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃ0／‖ａ‖^2
Ｘ2＝０，・・・
と一致する．
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ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では，辺心は
ａ＝（１／２，１／２，０，・・・，０）＝（ａ1，ａ2，・・・，ａn）
ｃ1＝（ｘ1＋ｘ2）／２
ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（（１／２）^2＋（１／２）^2）^1/2＝１／√２
この平面ａ・ｘ−ｃ1＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は
Ｘ1＝−ａ1ｃ1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃ1／‖ａ‖^2
Ｘ2＝−ａ2ｃ1／（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ2ｃ1／‖ａ‖^2
Ｘ3＝０，・・・
あるいは，直線
（Ｘ1−ａ1）／ａ1＝（Ｘ2−ａ2）／ａ2＝ｋとの交点を直接求めてみると
Ｘ1＝（ｋ＋１）ａ1，Ｘ2＝（ｋ＋１）ａ2，Ｘ3＝０，・・・
−ａ1Ｘ1−ａ2Ｘ2−・・・−ｃ1＝０
に代入すると
（ｋ＋１）｛ａ1^2＋ａ2^2＋・・・｝＝−ｃ1
ｋ＋１＝−ｃ1／（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
となって
Ｘ1＝−ａ1ｃ1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃ1／‖ａ‖^2
Ｘ2＝−ａ2ｃ1／（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ2ｃ1／‖ａ‖^2
Ｘ3＝０，・・・
と一致する．
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ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では，胞心は
ａ＝（１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）＝（ａ1，ａ2，・・・，ａn）
ここには切頂・切稜は施されないので，胞心面までの距離は１／√ｎであるが，同様に
ｃn-1＝（ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn）／ｎ＝１／ｎ
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（（１／ｎ）^2＋・・・＋（１／ｎ）^2）^1/2＝１／√ｎ
‖ａk‖^2＝１／√ｋ
この平面ａ・ｘ−ｃn-1＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は
Ｘ1＝−ａ1ｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃn-1／‖ａ‖^2
Ｘ2＝−ａ2ｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ2ｃn-1／‖ａ‖^2，・・・，
Ｘn＝−ａnｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａnｃn-1／‖ａ‖^2
あるいは，直線
（Ｘ1−ａ1）／ａ1＝（Ｘ2−ａ2）／ａ2＝・・・＝（Ｘn−ａn）／ａn＝ｋとの交点を直接求めてみると
Ｘ1＝（ｋ＋１）ａ1，Ｘ2＝（ｋ＋１）ａ2，・・・，Ｘn＝（ｋ−１）ａn，
−ａ1Ｘ1−ａ2Ｘ2−・・・−ｃn-1＝０
に代入すると
（ｋ＋１）｛ａ1^2＋・・・＋ａn^2｝＝−ｃn-1
ｋ＋１＝−ｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
となって
Ｘ1＝−ａ1ｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃn-1／‖ａ‖^2
Ｘ2＝−ａ2ｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ2ｃn-1／‖ａ‖^2，・・・，
Ｘn＝−ａnｃn-1／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａnｃn-1／‖ａ‖^2
と一致する．
辺の長さを１に規格化する．
Ｈk＝ｈk／２ω＝ｈk／（２ｎ＋ｎ（ｎ−１）√２）
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ａj＝１として，切頂・切稜点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，
ｘ1＝ａ1平面
ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面
・・・・・・・・・・・・・・・
ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面
に下ろした垂線の足の座標を（Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘn）とすると，
［１］ｘ1＝ａ1平面
Ｘ1−ｘ1＝１／ａ1（ｘ1／ａ1）／（１／ａ1^2），
Ｘ2−ｘ2＝０，・・・，Ｘn−ｘn＝０
［２］ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面
Ｘ1−ｘ1＝１／ａ1（ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2）
Ｘ2−ｘ2＝１／ａ2（ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2），・・・，Ｘn−ｘn＝０
［３］ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面
Ｘ1−ｘ1＝０，Ｘ2−ｘ2＝０
Ｘn-2−ｘn-2＝１／ａn-2（ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2），Ｘn−ｘn＝０
Ｘn-1−ｘn-1＝１／ａn-1（ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2），Ｘn−ｘn＝０
なお，ここで
｜ｘ1／ａ1｜／√（１／ａ1^2）＝｜ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2｜／√（１／ａ1^2＋１／ａ2^2）＝｜ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1｜／√（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2）
が成り立っている．また，Ｐn，Ｑを通り，それらを２等分する超平面は存在しないことを申し添えておく．
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