縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．等号を満たすためには

　　ａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａ

であることが必要条件になる，

　不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

において，λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　二辺の和は他の一辺よりも長いかどうかを確かめる必要がある．

　阪本ひろむ氏がλ＝１０００までの計算を行った．その結果，λ＝６３０を超えたあたりで，ａ，ｂ≦１０００の答えがなくなることがわかった．三角形をなす整数（ａ，ｂ，ｃ）については無限に解があることが予想される．また，　　ａ^2＋λｂ^2＝（λ＋１）ｃ^2

の整数解について，ａ＝ｂ＝ｃのとき，常に

　　ａ^2＋λｂ^2＝（λ＋１）ｃ^2

が成り立つのでオミットするが，鋭角三角形をなす整数（ａ，ｂ，ｃ）についても無限に解があることが予想されるところである．

　これらのデータから何か結論を導くことは考えられそうにないが，三角形あるいは鋭角三角形になるかどうかは別問題として，まず最初に，不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

が無限に整数解があることを導いておきたい．数学的な発見に至るかどうか・・・

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　当初，

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

の整数解を代数幾何的（類体論的？）に求めるのが近道と思われたのだが，東海大学の桑田孝泰先生が素敵な方法で，無限に整数解があることを証明してくれた．

　まず，

　　Ｃ：　ｘ^2＋λｙ^2＝λ＋１

の有理数解を求める．楕円上の点（１，１）はその解のひとつであるから，Ｃ＼（１，１）∩Ｑ^2とＱとは１：１に対応する．

　点（１，１）を通る傾きμの直線：

　　ｙ＝μ（ｘ−１）＋１

と楕円との交点Ｐは，

　　ｘ^2＋λ（μｘ−μ＋１）^2＝λ＋１

　　（１＋λμ^2）ｘ^2−２λμ（μ−１）ｘ＋λ（μ−１）^2−λ−１＝０

　　（ｘ−１）（（１＋λμ^2）ｘ−λ（μ−１）^2＋λ＋１）＝０

より，

　　Ｐ（（λμ^2−２λμ−１）／（１＋λμ^2），（−λμ^2−２μ＋１）／（１＋λμ^2））

　よって，μ＝ｍ／ｎとおき分母を払うと，

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

の整数解

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（λｍ^2−２λｍｎ−ｎ^2，−λｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2，ｍ^2＋λｎ^2）

を得る．

　λ＝２のとき，

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（２ｍ^2−４ｍｎ−ｎ^2，−２ｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2，ｍ^2＋２ｎ^2）

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