２（２^n−１）胞体の元素の形は

［１］（その５１）において，ｂ・ｘ≧０を満足する点を求める

［２］（その５２）において，ｂ・ｘ≧０を満足する点を求める

ことによって，決定されるのだが，（その５２）は原点をＰnに移していなかった．

　そこで，

　　ｘ＝（Ｘ1−ａ1，Ｘ2−ａ2，Ｘ3−ａ3，・・・）

とおいて，ｂ・ｘ≧０を満足するがどうかを確認する必要があることを申し添えておきたい．

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【１】２^n＋２ｎ胞体の元素

　ｎ次元立方体［０，２］^nに対して，基本単体の座標は

　　ｐ0（０，０，・・・，０）

　　ｐ1（１，０，・・・，０）

　　ｐ2（１，１，０，・・・０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１，１，１，・・・１，０）

　　ｐn（１，１，１，・・・１，１）

であるから，ｐ0ｐnを結ぶ対角線の中点

　　（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）

を通る超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

と各辺の交点を求めてみる．

　３次元（ペンタドロン）の場合は，

　　ｐ0（０，０，０）

　　ｐ1（１，０，０）

と４交点

　　（１／２，１／２，１／２）

　　（１，１／４，１／４）

　　（１，１／２，０）

　　（３／４，３／４，０）

　４次元の場合は

　　（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　（１，１／３，１／３，１／３）

　　（２／３，２／３，２／３，０）

　　（１，１／２，１／２，０）

と

　　ｐ2（１，１，０，０）

で交わる．したがって，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，７頂点

　　ｑ0（０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）

　　ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）

　　ｑ6（１，１／２，１／２，０）

が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．これが７６８個で４次元立方体を組み立てることができる．同様に，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≧０の部分をとって比較すると，辺や対角線の長さが等しいことから，基本単体の２分割体になっていることがわかる．

　辺の長さは

　　ｑ0ｑ1＝１，ｑ0ｑ2＝√２，ｑ0ｑ3＝１，ｑ0ｑ4＝√（４／３），ｑ0ｑ5＝√（４／３），ｑ0ｑ6＝√（３／２）

　　ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝１，ｑ1ｑ4＝√（１／３），ｑ1ｑ5＝１，ｑ1ｑ6＝√（１／２）

　　ｑ2ｑ3＝１，ｑ2ｑ4＝√（２／３），ｑ2ｑ5＝√（２／３），ｑ2ｑ6＝√（１／２）

　　ｑ3ｑ4＝√（１／３），ｑ3ｑ5＝√（１／３），ｑ3ｑ6＝√（１／２）

　　ｑ4ｑ5＝２／３，ｑ4ｑ6＝√（１／６），ｑ5ｑ6＝√（１／６）

　５次元の場合は９交点

　　（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

　　（１，３／８，３／８，３／８，３／８）

　　（１，１，１／６，１／６，１／６）

　　（５／６，５／６，５／６，０，０）

　　（５／８，５／８，５／８，５／８，０）

　　（１，３／４，３／４，０，０）

　　（１，１／２，１／２，１／２，０）

　　（１，１，１／４，１／４，０）

　　（１，１，１／２，０，０）

で交わるから，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２の部分をとると，１２頂点

　　ｑ0（０，０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，３／８，３／８，３／８，３／８）

　　ｑ5（１，１，１／６，１／６，１／６）

　　ｑ6（５／６，５／６，５／６，０，０）

　　ｑ7（５／８，５／８，５／８，５／８，０）

　　ｑ8（１，３／４，３／４，０，０）

　　ｑ9（１，１／２，１／２，１／２，０）

　　ｑ10（１，１，１／４，１／４，０）

　　ｑ11（１，１，１／２，０，０）

が元素の頂点となる．ｑ3〜ｑ11は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝５／２上にある．これが７６８０個で５次元立方体を組み立てることができる．

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【２】まとめ

　二項係数（ｎ，ｒ）において，ｎ＜ｒのときは０と約束すると，ｊ次元胞の個数ｆjは

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ＋１

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１３，４２，６４，５５，２８，８）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

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