和算の問題には内接円の大きさを求めよというものが多い．たとえば，
［Ｑ］外円内に甲乙乙丙丙丁の６円が戊円を取り巻いて内外接している．
（甲）
（乙戊乙）
（丙丁丙）
外円の直径は１８寸，甲円の直径が３寸のとき，丁円の直径を求めよ．
といった具合である．
ここでは，外円の直径は２Ｒ寸，甲円の直径は丙円の直径のｍ倍のとき，丙円の直径を求めよという類の問題を取り上げて，この問題が解をもつｍの範囲はどうなっているのかを一般解の形で求めてみたい．
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【１】狭い側の円の直径の円被覆
ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2
ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくが，これについては問題なし．
また，題意より
Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ
ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ
ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2
ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．
これより
４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）ｒＲ＝０
４ｍ（ｍ＋１）ｒ−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ＝０
ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）
したがって，ｍ＞（ｓ＋１／ｓ−２）／４となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？
ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）
については
（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）（２ｍ＋１）≦４ｍ（ｍ＋１）
４ｍ^2＋２（２−ｓ−１／ｓ）ｍ＋２−ｓ−１／ｓ≦０
ｍ^2＋（２−ｓ−１／ｓ）ｍ／２＋（２−ｓ−１／ｓ）／４≦０
（ｍ＋（２−ｓ−１／ｓ）／４）^2≦−（２−ｓ−１／ｓ）／４＋｛（２−ｓ−１／ｓ）／４｝^2
ここで，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４とおくと
（ｍ−ｃ）^2≦ｃ＋ｃ^2
以上をまとめると，
ｃ＜ｍ≦ｃ＋（ｃ＋ｃ^2）^1/2，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４
［１］ｎ＝３のとき
ｓ＋１／ｓ＝１４，ｂ＝４，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝√１２
３＜ｍ≦３＋√１２＝６．４６４１
［２］ｎ＝４のとき
ｓ＋１／ｓ＝６，ｂ＝１，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝√２
１＜ｍ≦１＋√２＝２．４１４２１
［３］ｎ＝５のとき
ｓ＋１／ｓ＝２２−８√５，ｂ＝５−２√５，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝（５０−２２√５）^1/2
．５２７８６４＝５−２√５≦ｍ≦５−２√５＋（５０−２２√５）^1/2＝１．４２５９２
［４］ｎ＝６のとき
ｓ＋１／ｓ＝１０／３，ｂ＝１／３，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝２／３
１／３≦ｍ≦１
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【２】広い側の円の直径の円被覆
ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2
ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくが，これについては問題なし．
また，ｄ＞０のときは，題意より
Ｒ＋ｄ−ｒ＝２ｍｒ
ｄ＝（２ｍ＋１）ｒ−Ｒ
ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2
ここで，ｒ≧Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．
ｄ＜０のときは
Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ
ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ
ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2
ここで，ｒ≧Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．
どちらの場合も
４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）ｒＲ＝０
４ｍ（ｍ＋１）ｒ−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ＝０
ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）
したがって，ｍ≧（ｓ＋１／ｓ−２）／４となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？
ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）≧Ｒ／（２ｍ＋１）
については
（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）（２ｍ＋１）≧４ｍ（ｍ＋１）
４ｍ^2＋２（２−ｓ−１／ｓ）ｍ＋２−ｓ−１／ｓ≧０
ｍ^2＋（２−ｓ−１／ｓ）ｍ／２＋（２−ｓ−１／ｓ）／４≧０
（ｍ＋（２−ｓ−１／ｓ）／４）^2≧−（２−ｓ−１／ｓ）／４＋｛（２−ｓ−１／ｓ）／４｝^2
ここで，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４とおくと
（ｍ−ｃ）^2≧ｃ＋ｃ^2
以上をまとめると，
ｍ≧ｃ＋（ｃ＋ｃ^2）^1/2，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４
ｍの上限は規定することができない．
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【３】余録
ｓ＋１／ｓ＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）／（１−（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）
＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）／（ｃｏｓ（π／ｎ））^2
＝２（（ｃｏｓ（π／ｎ））^2１＋２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）／（ｃｏｓ（π／ｎ））^2
＝２（１＋２ｔａｎ^2（π／ｎ））
であるから，
ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４＝（ｔａｎ（π／ｎ））^2
（ｃ＋ｃ^2）^1/2＝ｔａｎ（π／ｎ）ｓｅｃ（π／ｎ）
ｃ＋（ｃ＋ｃ^2）^1/2＝ｔａｎ（π／ｎ）｛ｔａｎ（π／ｎ）＋ｓｅｃ（π／ｎ）｝
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