【１】雑感・その１

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

が成り立つ．これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　もし，

　　ｓ＝（１−ｃｏｓ（π／ｎ））／（１＋ｃｏｓ（π／ｎ））

ならば，

　　ｓ＝｛ｓｉｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓ（π／２ｎ）｝^2＝｛ｔａｎ（π／２ｎ）｝^2

となって，簡単な形になるのだが，・・・

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

より

　　ｓ＋１／ｓ＝２（ｓｅｃ^2（π／ｎ）＋ｔａｎ^2（π／ｎ））＝２（１＋２ｔａｎ^2（π／ｎ））

であるから，

　　ｄ^2＝（Ｒ−ｒ）^2−４Ｒｒｔａｎ^2（π／ｎ）

となるが，余弦定理との類似性や反転の幾何学的意味がかえってわかりにくい．変形のしすぎということになろう．

［Ｑ］外円内に甲乙乙丙丙丁の６円が戊円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙戊乙）

　（丙丁丙）

外円の直径は１８寸，甲円の直径が３寸のとき，丁円の直径を求めよ．

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【２】雑感・その２

　算額のなかに，

［Ｑ］与えられた△ＡＢＣの各辺を伸長した位置に点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとって作った△Ａ’Ｂ’Ｃ’がもとの△ＡＢＣと相似になっている．

　　Ａ’Ｂ’＝３寸，Ｂ’Ｃ’＝６寸，Ａ’Ｃ’＝４寸，ＡＡ’＋ＢＢ’＋ＣＣ’＝５寸のとき，ＣＣ’の長さを求めよ．

という問題をみつけた．

　正弦定理を活用した非常に巧妙な問題である．これを参考にして，和算風の問題を作ってみることにした．

［Ｑ］△ＡＢＣの各辺を１：２の比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る△ＰＱＲを考える．３辺の長さａ，ｂ，ｃはすべて整数で，△ＰＱＲがもとの△ＡＢＣと相似になっている．ａ＋ｂ＋ｃ＝５８寸のとき，辺の長さａ，ｂ，ｃを求めよ．

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