縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

であったが，

　 ａ^2λ＋ｃ^2（λ−１）＝ｂ^2

は元の三角形が正三角形であるときに限られた．

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　　ａ^2λ（λ−１）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ＝ｃ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2λ＋ｂ^2λ（λ−１）＋ｃ^2（１−λ）＝ａ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ＋ｃ^2λ（λ−１）＝ｂ^2（λ^2−λ＋１）

　同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ａ^2λ（λ−１）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ＝ａ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2λ＋ｂ^2λ（λ−１）＋ｃ^2（１−λ）＝ｂ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ＋ｃ^2λ（λ−１）＝ｃ^2（λ^2−λ＋１）

→−ａ^2＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ＝０

　　ａ^2λ−ｂ^2＋ｃ^2（１−λ）＝０

　　ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ−ｃ^2＝０

３式を加えると，両辺とも同じ（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ^2−λ＋１）になるので，この３式は独立ではなく，ａ＝ｂ＝ｃを得る．

　右辺を巡回置換してもいずれも同様に計算してａ＝ｂ＝ｃに達する．すなわち自明な正三角形の場合以外にはあり得ない．

　裏返しに相似なとき，上述のＤＥ^2，ＥＦ^2，ＦＥ^2の式はそのままにして，第２式，第３式の右辺のａ^2，ｂ^2を入れ換える．

　　ａ^2λ（λ−１）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ＝ｃ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2λ＋ｂ^2λ（λ−１）＋ｃ^2（１−λ）＝ａ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ＋ｃ^2λ（λ−１）＝ｂ^2（λ^2−λ＋１）

第１式→ａ^2λ（λ−１）−ｂ^2（λ−１）＋ｃ^2（λ−１）^2＝０

第２式は右辺がａ^2（λ^2−λ＋１）であるから，整理すると

　　−ａ^2（λ−１）^2＋ｂ^2λ（λ−１）−ｃ^2（λ−１）＝０

となるが，これは第１式と同値である．

第３式は右辺がｂ^2（λ^2−λ＋１）であるから，整理すると

　　−ａ^2（λ−１）−ｂ^2（λ−１）^2＋ｃ^2λ（λ−１）＝０

となって，λ＝１（中点）のときに限る．

　すなわち，どちらの場合ももとの三角形が正三角形であるが，またはλ＝１（中点）のときに限ります．

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