■和算と算額(その29)

 与えられた三角形の各辺をλ:1,μ:1,ν:1に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は,もとの三角形の面積の

  M=(λμν+1)/(λ+1)(μ+1)(ν+1)

倍に等しくなる.

 λ=μ=νの場合,

  M=(λ^3+1)/(λ+1)^3

倍に等しくなる.λ=μ=ν=2のとき1/3.λ=μ=ν=−2のとき7.

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 外分を考えるために

  λ→−λ/(λ−1)

に置き換えると

  M=λ3−(λ−1)^3=3λ^2−3λ+1

より,一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率kで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は,もとの三角形の面積の

  M=3k^2−3k+1=3(k−1/2)^2+1/4

倍になる.

  k=1/3 → M=1/3  (3等分)

  k=1/2 → M=1/4  (4等分)

  k=2/3 → M=1/3  (3等分)

  k=1   → M=1

  k=2   → M=7    (7等分)

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