一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になる．

　同じく，四角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの四角形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．０＜ｋ＜１のときはもとの四角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの四角形より大きくなり，ｋ＝３／２のときには５／２倍になる．

　各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの図形の三角形小部分の面積のｋ（ｋ−１）倍になるが，もとの三角形は３重に，もとの四角形は２重に数えられているので，それぞれ，

　　３ｋ（ｋ−１）＋１

　　２ｋ（ｋ−１）＋１

になるというわけである．

　しかし，任意のｎ（≧５）角形では，与えられた図形に数えられない部分が生ずるので，同様の公式は存在しないことになる．

　今回のコラムでは，与えられた三角形の各辺を倍率λ，μ，νで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の小部分の

　　μ（λ−１）＋ν（μ−１）＋λ（ν−１）＋１

倍になることを利用して

［Ｑ］与えられた△ＡＢＣの各辺を伸長した位置に点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとって作った△Ａ’Ｂ’Ｃ’がもとの△ＡＢＣと同じ向きに相似相似になっている．

　　Ａ’Ｂ’＝３寸，Ｂ’Ｃ’＝６寸，Ａ’Ｃ’＝４寸，ＡＡ’＋ＢＢ’＋ＣＣ’＝５寸のとき，ＣＣ’の長さを求めよ．

を解くことを考えてみたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】失敗例

　　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ａｂｃｏｓＡ

　　ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａｃｏｓＢ

　　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓＣ

　相似比をｋとすると

　　（ｋｂ）^2＝｛（λ−１）ａ｝^2＋（μｂ）^2＋２（λ−１）μａｂｃｏｓＣ

　　（ｋｃ）^2＝｜（μ−１）ｂ｝^2＋（νｃ）^2＋２（μ−１）νｂｃｃｏｓＡ

　　（ｋａ）^2＝｛（ν−１）ｃ｝^2＋（λａ）^2＋２（ν−１）λｃａｃｏｓＢ

　ｃｏｓＡ，ｃｏｓＢ，ｃｏｓＣを消去すると

　　（ｋｂ）^2＝｛（λ−１）ａ｝^2＋（μｂ）^2＋（λ−１）μ（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）

　　（ｋｃ）^2＝｜（μ−１）ｂ｝^2＋（νｃ）^2＋（μ−１）ν（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）

　　（ｋａ）^2＝｛（ν−１）ｃ｝^2＋（λａ）^2＋（ν−１）λ（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）

　　ｋ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝ａ^2｛（λ−１）^2＋λ^2＋（λ−１）μ＋（ν−１）λ−（μ−１）ν｝＋ｂ^2｛（μ−１）^2＋μ^2＋（λ−１）μ＋（μ−１）ν−（ν−１）λ｝＋ｃ^2｛（ν−１）^2＋ν^2＋（μ−１）ν＋（ν−１）λ−（λ−１）μ｝

　これより，

　　ｋ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝ａ^2｛（λ−１）^2＋λ^2−２（μ−１）ν＋ｋ^2−１｝＋ｂ^2｛（μ−１）^2＋μ^2−２（ν−１）λ＋ｋ^2−１｝＋ｃ^2｛（ν−１）^2＋ν^2−２（λ−１）μ＋ｋ^2−１｝

　　ａ^2｛λ^2−λ−（μ−１）ν｝＋ｂ^2｛μ^2−μ−（ν−１）λ｝＋ｃ^2｛ν^2−ν−（λ−１）μ｝＝０

　また，与えられた三角形の各辺を倍率λ，μ，νで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　μ（λ−１）＋ν（μ−１）＋λ（ν−１）＋１

倍になるから，

　　ｋ^2＝μ（λ−１）＋ν（μ−１）＋λ（ν−１）＋１

　　ｋａ＝６，ｋｂ＝４，ｋｃ＝３，（λ−１）ａ＋（μ−１）ｂ＋（ν−１）ｃ＝５を代入してもこれ以上の一般化は難しい．何か条件が不足しているのだろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝