大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

が成り立つ．これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　和算あるいは算額問題では，

　　ｓ＋１／ｓ

がしばしば現れるが，その幾何学的な意味は何だろうか？

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　同心円（ｄ＝０）の場合に，ｎ個の円で１周するならば，（（Ｒ＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（Ｒ−ｒ）／２の円が描けることから，

　　（Ｒ＋ｒ）／２：（Ｒ＋ｒ）／２＝１：ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｒ＝ｒ（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））／（１−ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられる．

　このとき，小円の半径は最大となるが，その小円・大円比ｒ／Ｒがｓであり，その反転が１／ｓ＝Ｒ／ｒであるから，

　　ｓ＋１／ｓ＝ｒ／Ｒ＋Ｒ／ｒ

となるが，もともとは以下のように自然に導出された経緯がある．

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　最初の２円の直径端と中心がそれぞれ

　　［−１，０，１］，［α，（α＋β）／２），β］　　　（α＋β＞０）

にあると仮定しても一般性は失われない．

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，α，１］に移されることがわかる．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　このとき，［α，β］が［−ｒ，ｒ］に移されるためには，

　　（α＋ａ）／（ａα＋１）＝−（β＋ａ）／（ａβ＋１）

より，ａに関する２次方程式

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に帰着される．

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））＝ｒ

とおくと，

　　α＝−（ｓ＋ａ）／（ａｓ＋１）

　　β＝（−ｓ＋ａ）／（ａｓ−１）

である．

　これからａを消去する．第１式より

　　ａ＝−（ｓ＋α）／（αｓ＋１）

第２式に代入すると

　　β＝（ｓ（αｓ＋１）＋（ｓ＋α））／（ｓ（ｓ＋α）＋（αｓ＋１））

　　β（２αｓ＋ｓ^2＋１）−α（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　　２αβｓ＋（β−α）（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　ここで，

　　（α＋β）／２＝ｄ，（β−α）／２＝ｒ

より，

　　α＝ｄ−ｒ，β＝ｄ＋ｒ

を代入すると

　　ｄ^2−ｒ^2＋ｒ（ｓ＋１／ｓ）＝１

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒ（ｓ＋１／ｓ）＋１

　　ｓ＋１／ｓ＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2／（１−（ｓｉｎ（π／ｎ））^2＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2／（ｃｏｓ（π／ｎ））^2

より，ｓ＋１／ｓは簡単な形にはならないが，閉包条件→（ｓ^2＋１）／ｓ→ｓ＋１／ｓの流れの中から自然にｓ＋１／ｓが現れるのである．

　もし，ｄ＝０ならば

　　（ｒ−ｓＲ）（ｒ−Ｒ／ｓ）＝０

となるが，ｒ＝Ｒ／ｓは大円と小円が逆転するのでｒ＝ｓＲ．また，ｓ＜１／ｓより，ｒはｄ＝０のとき最大値ｓＲをとる．

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［１］ｓ＋１／ｓ＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2／（１−（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

［２］ｓ＋１／ｓ−２＝４（ｓｉｎ（π／ｎ））^2／（１−（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

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