大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

が成り立つ．これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　ところで，この定理は余弦定理

　　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓθ

によく似ている．

　　（ｓ＋１／ｓ）／２＝ｃｏｓθ

というわけであるが，これを「パップスの定理」や「スチュアートの定理」をつかって導き出すことはできるだろうか？

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　Ａ（０，ｄ＋ｒ）

　Ｂ（０，ｄ）

　Ｃ（０，ｄ−ｒ）

　Ｄ（Ｒ，０）

　Ｏ（０，０）

　ＡＤ＝ａ，ＢＤ＝ｂ，ＣＤ＝Ｃとして，入れ子になった三角形を考えると，

　　ａ^2＝（ｄ＋ｒ）^2＋Ｒ^2

　　ｂ^2＝ｄ^2＋Ｒ^2

　　ｃ^2＝（ｄ−ｒ）^2＋Ｒ^2

となる．

　次に，△ＡＣＤに対して，パップスの定理を適用すると

　　ａ^2＋ｃ^2＝２ｂ^2＋２ｒ^2

△ＢＯＤに対して，スチュアートの定理を適用すると

　　ｂ^2｜ｄ−ｒ｜＋ｒＲ^2＝ｄ（ｃ^2＋ｒ｜ｄ−ｒ｜）

　この式に

　　ｂ^2＝ｄ^2＋Ｒ^2

　　ｃ^2＝（ｄ−ｒ）^2＋Ｒ^2

を代入するとＲ，ｒ，ｄの関係式が得られると思われたのだが，結局，トートロジー（恒真命題）になって，振り出し（０＝０）に戻ってしまうだけであった．

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