大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

が成り立つ．これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　もし，

　　ｓ＝（１−ｃｏｓ（π／ｎ））／（１＋ｃｏｓ（π／ｎ））

ならば，

　　ｓ＝｛ｓｉｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓ（π／２ｎ）｝^2＝｛ｔａｎ（π／２ｎ）｝^2

となって，簡単な形になるのだが，・・・

　ところで，この定理は余弦定理

　　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓθ

によく似ている（本質的には同じものと思われる）．また，余弦定理から導き出される定理に「パップスの定理」や「スチュアートの定理」がある．

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【１】パップスの定理

　△ＡＢＣの辺ＢＣ（長さａ）上に中点Ｄ（ＡＤ＝ｄ）がある．

　　ＢＤ＝ａ／２，ＤＣ＝ａ／２

このとき，

　　ｂ^2＋ｃ^2＝ａ^2／２＋２ｄ^2

となる．

［補］この定理はアポロニウスの定理とも呼ばれている．

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【２】スチュアートの定理（１７３０年代）

　△ＡＢＣの辺ＢＣ（長さａ）上に点Ｄ（ＡＤ＝ｄ）がある．

　　ＢＤ＝ｍ，ＤＣ＝ｎ，ａ＝ｍ＋ｎ

このとき，

　　ｂ^2ｍ＋ｃ^2ｎ＝ａ（ｄ^2＋ｍｎ）

となる．

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