［Ｑ］外円内に甲乙乙の３円が，丙円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　　（丙）

　 （乙乙）

外円の直径は２Ｒ寸，甲円の直径は丙円の直径のｍ倍のとき，丙円の直径を求めよという類の問題を取り上げてきたが，これらの問題が解をもつｍの範囲はどうなっているのだろうか？　一般解の形で求めてみよう．

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【１】狭い側

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくが，これについては問題なし．

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）ｒＲ＝０

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ＝０

　　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ≧（ｓ＋１／ｓ−２）／４となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）（２ｍ＋１）≦４ｍ（ｍ＋１）

　　４ｍ^2＋２（２−ｓ−１／ｓ）ｍ＋２−ｓ−１／ｓ≦０

　　ｍ^2＋（２−ｓ−１／ｓ）ｍ／２＋（２−ｓ−１／ｓ）／４≦０

　　（ｍ＋（２−ｓ−１／ｓ）／４）^2≦−（２−ｓ−１／ｓ）／４＋｛（２−ｓ−１／ｓ）／４｝^2

ここで，ｂ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４とおくと

　　（ｍ−ｂ）^2≦ｂ＋ｂ^2

　以上をまとめると，

　　ｂ≦ｍ≦ｂ＋（ｂ＋ｂ^2）^1/2，ｂ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４

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【２】狭い側（その２）

　前節では何の気もなしにｄ＞０としてしまったが，ｄ＜０ならは狭い側は

　　Ｒ＋ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝（２ｍ＋１）ｒ−Ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）ｒＲ＝０

　　４ｍ（ｍ＋」）ｒ−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ＝０

　　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）

したがって，

　　ｍ≧（ｓ＋１／ｓ−２）／４

　　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

という条件についても，前節と同じである．

したがって，

　　ｂ≦ｍ≦ｂ＋（ｂ＋ｂ^2）^1/2，ｂ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４

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