［Ｑ］外円内に甲乙乙の３円が，丙円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　　（丙）

　 （乙乙）

外円の直径は２Ｒ寸，甲円の直径は丙円の直径のｍ倍のとき，丙円の直径を求めよという類の問題を取り上げてきたが，これらの問題が解をもつｍの範囲はどうなっているのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ｎ＝３のとき

　　ｓ＝（１−ｓｉｎπ／３）／（１＋ｓｉｎπ／３）＝７−４√３

　　１／ｓ＝７＋４√３，ｓ＋１／ｓ＝１４

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−１４ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦（７−４√３）Ｒ．

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ−１２）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ−（ｍ−３）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ−３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞３となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ−３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ−３）／ｓ＝（７＋４√３）（ｍ−３）

ｍ^2−（６＋４√３）ｍ＋３（７＋４√３）≧０

（ｍ−３−２√３））^2≧０　　　（ＯＫ）

［２］ｒ＝（ｍ−３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ−３）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2−６ｍ−３≦０

　　（ｍ−３）^2≦１２

より，３＜ｍ＜３＋√１２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ｎ＝４のとき

　　ｓ＝（１−ｓｉｎπ／４）／（１＋ｓｉｎπ／４）＝３−２√２

　　１／ｓ＝３＋２√３，ｓ＋１／ｓ＝６

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−６ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦（３−２√２）Ｒ．

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ−４）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ−（ｍ−１）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ−１）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞１となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ−１）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ−１）／ｓ＝（３＋２√２）（ｍ−１）

ｍ^2−（２＋２√２）ｍ＋（３＋２√２）≧０

（ｍ−１−√２））^2≧０　　　（ＯＫ）

［２］ｒ＝（ｍ−１）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ−１）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2−２ｍ−１≦０

　　（ｍ−１）^2≦２

より，１＜ｍ＜１＋√２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】ｎ＝６のとき

　　ｓ＝（１−ｓｉｎπ／６）／（１＋ｓｉｎπ／６）＝１／３

　　１／ｓ＝３，ｓ＋１／ｓ＝１０／３

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−１０ｒＲ／３＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦Ｒ／３．

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ−４／３）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ−（ｍ−１／３）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ−１／３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞１／３となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ−１／３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ−１／３）／ｓ＝３（ｍ−１／３）

ｍ^2−２ｍ＋１≧０

（ｍ−１）^2≧０　　　（ＯＫ）

［２］ｒ＝（ｍ−１／３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ−１／３）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2−２ｍ／３−１／３≦０

　　（ｍ−１／３）^2≦４／９

より，１／３＜ｍ＜１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】ｎ＝５のとき

　　ｓ＝（１−ｓｉｎπ／５）／（１＋ｓｉｎπ／５）＝１１−４√５−（１０−２√５）^1/2／２

　　１／ｓ＝１１−４√５＋（１０−２√５）^1/2／２，ｓ＋１／ｓ＝２２−８√５

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−（２２−８√５）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦（１１−４√５−（１０−２√５）^1/2／２）Ｒ．

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2 ・

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ−２０＋８√５）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ−（ｍ−５＋２√５）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ−５＋２√５）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞５−２√５となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ−５＋２√５）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ−５＋２√５）／ｓ＝（ｍ−５＋２√５）（１１−４√５＋（１０−２√５）^1/2／２）

この条件はＯＫであろう．

［２］ｒ＝（ｍ−５＋２√５）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ−５＋２√５）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2−２（５−２√５）ｍ−５＋２√５≦０

　　（ｍ−５＋２√５）^2≦（５−２√５）（６−２√５）

より，５−２√５＜ｍ＜５−２√５＋（５０−２２√５）^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝