［Ｑ］外円内に甲乙乙の３円が，丙円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　　（丙）

　 （乙乙）

外円の直径は４０寸，甲円の直径は丙円の直径の４倍のとき，丙円の直径を求めよという問題に対しては，デカルトの４円定理でもよいのだが，オイラー・フース型定理を用いることにする．

　ｎ＝３のとき，ｓ＋１／ｓ＝１４．外円の直径は４０寸（Ｒ＝２０）であるから，

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−２８０ｒ＋４００

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝８ｒ

　　ｄ＝２０−９ｒ

　　ｄ^2＝８１ｒ^2−３６０ｒ＋４００

　これより

　　８０ｒ^2−８０ｒ＝０

　　ｒ＝１　　　（解は２ｒ）

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【１】デカルトの４円定理（１６４３年）

　曲率（半径の逆数）をａ，ｂ，ｃ，ｄとおくと，平面上の互いに接し合う４つの円の間に関係式

　　２（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2

が成り立つ（ひとつの円の内側に他の３円が内接しているときが負号をつける）．

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【２】デカルトの４円定理の応用

　デカルトの４円定理を用いて，

［Ｑ］外円内に甲乙乙の３円が，丙円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　　（丙）

　 （乙乙）

外円の直径は４０寸，甲円の直径は丙円の直径の４倍のとき，丙円の直径を求めよという問題を解いてみよう．

　甲円の曲率をａ，乙円の曲率をｂとすると，丙円の曲率は４ａ．デカルトの４円定理において，ａ，ｂ，ｂ，４ａとおくと

２（ａ^2＋ｂ^2＋ｂ^2＋１６ａ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｂ＋４ａ）^2

　　９ａ^2−２０ａｂ＝０

　　９ａ−２０ｂ＝０

　　ａ，ｂ，ｂ，−１／２０

とおくと，

２（ａ^2＋ｂ^2＋ｂ^2＋（１／２０）^2）＝（ａ＋ｂ＋ｂ−１／２０）^2

　　４００ａ^2−１６００ａｂ＋４０ａ＋８０ｂ＋１＝０

　　９ａ−８０ｂ＝０を代入すると

　　４００ａ^2−７２０ａ^2＋４０ａ＋３６ａ＋１＝０

　　−３２０ａ^2＋７６ａ＋１＝０，ａ＝１／４，ｒ＝１

　答えは一致したが，デカルトの４円定理よりはオイラー・フース型定理を用いたほうが簡単である．

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