F(z)=∫(0,z)=1/(1-x^4)^(1/2)dx

F(z)の逆関数であるレムニスケートサインsl(u)を求めてみよう．

　実際に1/(1-x^4)^(1/2)を２項展開し，さらに項別積分すると

F(z)=z+1/10z5+1/24z9+5/208z16+･･･

この逆関数のべき級数展開は

sl(u)=u-1/10u5+1/120u9+11/15600u13+･･･

=u(1-1/10u4+1/120u8+･･･)

=ug(u4)

となる．

　２００８年に，レムニスケートサイン関数を用いて，レムニスケートのｎ等分点を計算したが，どうしても５等分点は得られなかった．そこで，

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

を，ワイエルシュトラスの標準形

　 ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱ってみたところ，ワイエルシュトラスのペー関数を使って５等分点を得ることができた．加法定理が幾分簡単になったためである．ワイエルシュトラスのペー関数の勝利といってよいだろう．

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　３次曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3はワイエルシュトラスのペー関数：ｘ＝ｐ（ｕ），ｙ＝ｐ’（ｕ）によってパラメトライズされます．

　ワイエルシュトラスのペー関数は１階の非線形微分方程式

　　（ｙ’）^2＝４ｙ^3−ｇ2ｙ−ｇ3

の解ですが，その逆関数は

　　Ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｔ／（４ｔ^3−ｇ2ｔ−ｇ3）^1/2

となります．

　Ｆ’の逆数：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3をとり，ｘとｙを交換するとｘ^2＝４ｙ^3−ｇ2ｙ−ｇ3ｙになりますから，このことからＦがｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3の逆関数であることがおわかり頂けるでしょうが，これに関係して

　　ｔａｎ（π／４＋θ）ｔａｎ（π／４−θ）＝１

となることを確認しておきたいと思います．

（証）　ｔａｎθ＝ｍとおくと，

　　ｔａｎ（π／４＋θ）ｔａｎ（π／４−θ）

　＝（１＋ｍ）／（１−ｍ）・（１−ｍ）／（１＋ｍ）＝１

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