カージオイドは２通りの方法で任意等分可能な曲線である．

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【１】尖点を中心とする円を使った任意等分

　周長が

　　∫1/(1-x)^(1/2)dx

で表される曲線（カージオイド）のｎ等分問題について考えてみると，

　　∫1/(1-x)^(1/2)dx=-2(1-x^)^(1/2)+C

　　∫(0,1)1/(1-x)^(1/2)dx=2

より，ｎ等分点は

　　-2(1-x)^(1/2)+2=2/n

　　x=1-(1-1/n)^2=(2n-1)/n^2=c

で与えられる．

　したがって，カージオイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線で，２等分点，３等分点，５等分点に対応するカージオイド曲線上の点は以下の如くである．

　　　　　　　　　　ｃ　　　　　（ｘ，ｙ）

　　ｎ＝２　→　0.75 　→　(0.375,0.6495193)

　　ｎ＝３　→　0.555556 　→　(0.0617284,0.552115)

　　ｎ＝５　→　0.36 　→　(-0.1008,0.3456)

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【２】固定円の同心円を使った任意等分

　　大円の半径：ｎ，小円の半径：１　　　（０＜ｔ＜２π／ｎ）

とする外サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ

について調べてみたい．

　　∫(0,2π/n)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ

　＝√２（ｎ＋１）∫(0,2π/n)（１−ｃｏｓｎｔ）^1/2ｄｔ

　＝２（ｎ＋１）∫(0,2π/n)ｓｉｎ（ｎｔ／２）ｄｔ

　＝４（ｎ＋１）／ｎ［−ｃｏｓ（ｎｔ／２）］＝８（ｎ＋１）／ｎ

　半弧長のｍ等分を考えると，

　　４（ｎ＋１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝４（ｎ＋１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝１／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−１／ｍ

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎｔ＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）｛２ｃｏｓ^2（ｎｔ／２）−１｝＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）（１−４／ｍ＋２／ｍ^2）

　たとえば，２等分する場合，

　　ｒ^2＝（ｎ＋１）^2＋１＋（ｎ＋１）

　　ｔ＝２／ｎ・ａｒｃｃｏｓ（１−１／ｍ）＝２π／３ｎ

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