空間充填２^n＋２ｎ面体のｋ次元面数を決定する問題は，２次元・３次元・４次元では既知であるから，高次元空間でも考えるのは自然な問題意識であろう．もちろん，このような問題意識が常に面白い結果を生み出すとは限らないのであるが，いずれにせよ，その形を構成するにはかなりの洞察力がいるようである．今回のコラムでは，主として切頂面の形について考えてみたい．

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［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）です．胞の位置には全部で８枚の正六角形ができます．また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，０）と（ｘ，０，ｘ／２）の２点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）の周囲には４点（ｘ，±ｘ／２，０），（ｘ，０，±ｘ／２）からなる正方形ができるので，８＋６＝１４面体となるわけです．直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，０，−ｘ／２）です．

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［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）あります．胞の位置には全部で１６個の正八面体ができます．また，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，０），（０，ｘ，０，ｘ）の４点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができるので，１６＋８＝正２４胞体となるわけです．直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，０，−ｘ，０），（ｘ，０，０，−ｘ）の２点です．

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［３］ｎ＝５のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換は５！／２！２！＝３０個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２）の４点です．

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の周囲には（ｘ，±ｘ，±ｘ／２，０，０）の置換４！／２！・４＝４８個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，ｘ，０，−ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，−ｘ／２）の２点です．

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［４］ｎ＝６のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の置換は６！／３！３！＝２０個あり，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０）（ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０）（０，ｘ，ｘ，０，ｘ，０），（０，ｘ，ｘ，０，０，ｘ）の９点です．

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の周囲には（ｘ，±ｘ，±ｘ，０，０，０）の置換５！／２！３！・４＝４０個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，ｘ，０，−ｘ，０，０），

（ｘ，ｘ，０，０，−ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，−ｘ），（ｘ，０，ｘ，−ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，−ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，−ｘ）の６点です．

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［雑感］

　空間充填２^n＋２ｎ面体の面数を決定する問題はとてつもない苦戦を強いられる難問になることがわかったが，ここでの考察がｆ2公式の足がかりになるかどうかはいまのところ不明である．

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