空間充填２^n＋２ｎ面体について洞察してみると

［１］正八面体の辺の中心と頂点の間を通る

［２］４次元の正１６胞体の２４本の辺の中点を通る

［３］５次元正軸体の２次元面の中心と辺の中点の間を通る

［４］６次元正軸九体の２次元面の中心を通る

場合，それぞれの３（２）次元胞は，

［１］切頂八面体（正六角形）

［２］正２４胞体（正八面体）

［３］４２胞体（切頂四面体）

［４］７６胞体（正四面体）

となります．

　空間充填２^n＋２ｎ面体では，ｎ次元正軸体の胞の位置にｎ−１次元切頂正単体があるのですが，対応する切頂正単体は

　　｛３，４｝（１，１，０）←→｛３｝（１，１）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）←→｛３，３｝（０，１，０）

　　｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）←→｛３，３，３｝（０，１，１，０）

　　｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）←→｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）

すなわち，切頂正単体は

［１］｛３｝（１，１）　　　（２次元正単体の頂点と辺の中点の間を通る場合）

［２］｛３，３｝（０，１，０）　　　（３次元正単体の辺の中点を通る場合）

［３］｛３，３，３｝（０，１，１，０）　　　（４次元正単体の辺の中点と面の中心の間を通る場合）

［４］｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）　　　（５次元正単体の面の中心を通る場合）

であって，［１］が正六角形，［２］は正八面体となるというわけです．

　今回のコラムでは，（その９６）に従って（正しいと思われることを）式の形にまとめてみます．

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【１】ｆ0公式

［１］ｎが奇数のとき

　　ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！／２^(n-1)/2・２^n

　＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！・２^(n+1)/2

ここで，ｍ＝（ｎ−１）／２とおくと

　　ｎ2mＣm・２^(m+1)＝（２ｍ＋１）2mＣm・２^(m+1)

［２］ｎが偶数のとき

　　ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！／２^n/2・２^n

　＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・２^n/2

ここで，ｍ＝ｎ／２とおくと

　　2mＣm・２^m

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【２】ｆ1公式

［１］ｎが奇数のとき

　　ｅ＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！（ｎ−１）／２＝ｎ2mＣm・ｍ

とおくと

ｅ／２（１／２^(n-3)/2＋１／２^(n-1)/2）・２^n

　＝ｅ（２^(n+1)/2＋２^(n-1)/2）＝３ｅ２^(n-1)/2

［２］ｎが偶数のとき，

　　ｅ＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・（ｎ／２）^2／２＝2mＣm・ｍ^2／２

とおくと

ｅ（１／２^(n-2)/2）・２^n＝ｅ２^(n+2)/2

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