レムニスケートの場合，その弧と１対１対応する楕円曲線ｔ^2＝１−ｚ^4，（ｘ，ｙ）→（ｔ，ｚ）の加法公式を用いたが，楕円ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合，その弧と１対１対応する楕円曲線
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4
の加法公式は
ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
となる．
レムニスケートサインに倣って，楕円サイン関数をｘ＝se[u]，ｙ＝se[v]，ｚ＝se[u+v]とおく．ｋ倍角公式でｚ＝αとおいてｘを求めるとその点がｋ等分点に対応する．
たとえば，楕円ｘ^2／４＋ｙ^2＝１について，
ａ＝−１／４，ｂ＝１，ｐ＝ａ／ｂ＝−１／４，
ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ＝−３／１６，ｍ＝ｐ＋ｑ＝−７／１６，
ｎ＝ｐｑ＝３／６４，α＝√（−ｂ／ａ）＝２
とおいて，倍角公式
ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
の計算結果を図示してみたが，どうもしっくりこない．どこで間違えたのか，あるいは，もともとｎ等分することができない曲線なのだろうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】再考
楕円ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの周長は（直交座標系で）
２ｙｙ’＝２ａｘ→ｙ’＝ａｘ／ｙ
１＋ｙ’^2＝（ｙ^2＋ａ^2ｘ^2）／ｙ^2＝（ｂ＋（ａ＋ａ^2）ｘ^2）／（ｂ＋ｘａｘ^2）＝（１＋（ａ＋ａ^2）ｘ^2／ｂ）／（１＋ａｘ^2／ｂ）
したがって，
∫ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2
ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ
で与えられる．
∫ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2
＝∫ｄｘ（１＋ｑｘ^2）／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
＝∫ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2＋∫ｑｘ^2ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2
第１項は第１種楕円積分であるが，楕円の求長問題には余分は第２項がついてしまうのである．第１項だけを計算すると，
［１］ｋ＝２
Mathematicaでは，２等分点
se(u/2)=2√(2/3)^1/2=1.63299
は簡単に求まりました．平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できることがわかります．また，２次方程式
ｚ＝α（（１＋ｐｚ^2）／（１＋ｑｚ^2））^1/2
を解くと，
ｚ＝２√（２／３）＝１．６３２９９
が得られることはすぐにでも確かめられます．
［２］ｋ＝３
３等分点
se(u/3)=1-(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2+(2/3(3ｰ6^1/3+5/(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2)^1/2=1.25364
このように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けないから，楕円を定規とコンパスだけで３等分することはできないことがわかります．
［３］ｋ＝４
４等分でなく，２等分を２回繰り返す方法
se(2u)=2se(u)(1-7/16se^2(u)+3/64se^4(u))^1/2/(1-3/64se^4(u))=(-1+√2)^1/2
を用いると，作図可能な値
se(u/4)=2(1/3(6-3√2-√(6-3√2))^1/2=0.995153
が得られました．
［４］ｋ＝５
メモリ不足のため，どうしても５等分点は得られませんでした．
［５］ｋ＝６
６等分でなく，３等分したものを２等分する方法
se(2u)=1-(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2+(2/3(3ｰ6^1/3+5/(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2)^1/2=1.25364
ではMathematicaで計算できて
se(u/6)=0.692907
ただし，作図は不可能です．
［６］ｋ＝８
８等分でなく，４等分したものを２等分する方法
se(2u)=2(1/3(6-3√2-√(6-3√2))^1/2=0.995153
を用いれば作図可能な８等分解が得られます．解析解は長くなるので省略しますが，
se(u/8)=0.527982
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】まとめ
以上より，第１項だけを考えても楕円を定規とコンパスだけで３等分することはできないことがわかった．第２項も考えると楕円は２等分すらできない曲線であると思われるのである．
楕円は円を一方向に一定の倍率で伸縮したアフィン変換図形であるが，円のように弧長を２等分，３等分，５等分できないだろう．その意味では円のもつ性質を引きずっていないことになる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝