楕円のｋ等分点について考えてみることにしたい．その基礎的な事項は（その１１７）で与えてあるが，まずはその復習から．

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【１】楕円の場合

　円錐曲線ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合を考えてみよう．この曲線はａ＜０のとき楕円，ａ＞０のとき双曲線であるが，ｙｄｙ／ｄｘ＝ａｘであるからその線素は

　　ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2

　　ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ

で与えられる．円ではａ＝−１，ｂ＝１，ｐ＝−１，ｑ＝０より

　　ｄｓ＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2

となる．

　この円錐曲線と１対１対応する楕円曲線

　　ｚ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）

　　　　＝１＋（ｐ＋ｑ）ｘ^2＋ｐｑｘ^4＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4

　　ｍ＝ｐ＋ｑ，ｎ＝ｐｑ

を定義する．

　たとえば，楕円ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂのｘ≧０，ｙ≧０の部分を扱い，始点をＰ（０，√ｂ），終点をＱ＝（α，０）

　　α＝√（−ｂ／ａ）

にとると，Ｐ，Ｑはそれぞれ楕円曲線の上の点Ａ（０，１），Ｂ（α，０）に対応する．

　ところで，楕円曲線ｚ^2＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4において，Ａ（０，１），Ｂ（ａ，ｂ）にとれば，ｂ^2＝１＋ｍａ^2＋ｎａ^4となるが，このとき，加法・減法公式は

　　ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）

と表すことができる．

　減法公式にａ＝α，ｂ＝０，ｎ＝ｐｑを適用すると，ａ^2＝−１／ｐより

　　ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）

　　　　＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

となり，楕円の弧ＰＱはＱＰに写像されＰとＱは移り合う．

　さらに，ＰＱの線素

　　ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2

は

　　ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

を用いて

　　ｄｓ＝αｄｘ／ｘ’

一方，写像ｘ→ｘ’でｄｓを変換したものは

　　ｄｓ’＝αｄｘ’／ｘ

と書ける．ここで，Ｍ（ｘ，ｙ）をＰＱ上の任意の点，写像ｘ→ｘ’によるＭの像をＮとすると，

　　弧ＰＭの長さ：λ＝α∫(0,x)ｄｘ／ｘ’

　　弧ＱＮの長さ：λ’＝−α∫(0,x)ｄｘ’／ｘ

　　λ’−λ＝ｑαｘｘ’

が得られる．

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【２】楕円のｋ等分点

　円ではｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^2，レムニスケートではｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^4とおいて，

　　ｄｓ＝ｄｘ／ｙ

で与えられることをみてきたが，たとえば，レムニスケートの弧長では，加法公式

　　ｘ’＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2＋ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）

において，ｙ＝ｘとおくと倍角公式が得られる．また，ｙ＝１の場合の減法公式は，反転写像

　　ｘ’＝（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^2）＝｛（１−ｘ^2）／（１＋ｘ^2）｝^1/2

を与える．

　楕円の弧長を求めるには，楕円の弧と１対１対応する楕円曲線

　　ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4

の加法公式

　　ｘ’＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）において，ｙ＝ｘとおくと倍角公式

　　ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）

が得られる．

　また，１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4＝０の場合，すなわち，１＋ｐｙ^2＝０，ｙ^2＝−１／ｐの場合の減法公式は，

　　ｘ’＝ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^2ｙ^2）

　　１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2），ｎ＝ｐｑ，α^2＝−１／ｐ

より，反転写像

　　ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

を与える．

　これ以降はレムニスケート型ｙ^2＝１−ｘ^4の場合とまったく同様に進むことができて，ｋ倍角公式でｘ’＝αとおいてｘを求めるとその点がｋ等分点に対応する．たとえば，楕円ｘ^2／４＋ｙ^2＝１，すなわち，ａ＝−１／４，ｂ＝１，ｐ＝ａ／ｂ＝−１／４，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ＝−３／１６，ｍ＝ｐ＋ｑ＝−７／１６，ｎ＝ｐｑ＝３／６４，α＝√（−ｂ／ａ）＝２．

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【３】雑感

　楕円のｋ等分点について考察してきたが，

　　ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

が反転公式である．

　したがって，２等分点に対応する

　　ｘ＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

　　ｑｘ^4＋（１−ｐα^2）ｘ^2−α^2＝０

α^2＝−１／ｐより

　　ｐｑｘ^4＋２ｐｘ^2＋１＝０

はｘ^2に関する２次方程式となる．３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けないが，２次方程式であるから楕円を定規とコンパスだけで２等分することができるはずである．

　　ｘ^2＝１／ｐｑ（−ｐ−（ｐ^2−ｐｑ）^1/2）

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