（その６６）（その６９）（その８２）（その８４）の考察には，最後の部分に誤りのあることを一松信先生にご指摘頂いたので紹介したい．

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［Ｑ］定木とコンパスで弧長が任意等分できる曲線は，直線とカージオイドの他にあるか？

について，一般解は難しいようですが，ルーレット曲線の仲間で、他にもいくつもありそうです．一例としてサイクロイドもそのようです．

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ，ｙ＝１−ｃｏｓθ

　　ｘ’＝１−ｃｏｓθ，Ｙ’＝ｓｉｎθ

　　（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2＝２ｓｉｎ（ｔ／２）

　　Ｌ（α）＝∫(0,α)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,α)ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］・・・全長はα＝２πを代入して８．

　有理数０＜ｎ／ｍ＜１をとると

　　Ｌ（α）＝８ｎ／ｍ

となるαは

　　８ｎ／ｍ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］

　　ｃｏｓ（α／２）＝１−２ｎ／ｍ

　このαは一般に定木とコンパスで作図できませんが，

　　ｃｏｓα＝２ｃｏｓ^2（α／２）＝２（１−２ｎ／ｍ）^2−１

　　ｙ＝１−ｃｏｓα＝２ｎ／ｍ（１−ｎ／ｍ）

は有理数であって作図可能です．

　すなわち，サイクロイド曲線そのものが正確に描かれていれば，ｍ等分するにはｎ＝１，２，・・・，［ｍ／２］について，この式で与えられるｙの値ａnを作図して直線ｙ＝ａnとの交点を求めればよいわけでです．これは定木とコンパスだけで任意のｍについて可能です．

　特例としてｍ＝３ならサイクロイドの高さ２に対して１６／９すなわち高さの比が８／９の位置の点をとればよいことになります．ｍ＝４なら中央の点と高さ２に対して３／２つまり高さの比が３／４の位置の点をとる（ｍ＝４のときはα＝２π／３，π，４π／３に相当する位置）などです．

　以上は一例であり，他にも多数ありそうですが，とりあえすご一報申し上げます．

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［１］任意等分可能・・・・・・直線，カージオイド，サイクロイド族

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２）

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