今回のコラムでも，２つの方法で計算してみて，ミンコフスキー和が正しく計算されているかどうかを調べてみた．ミンコフスキー和の計算は阪本ひろむ氏にお願いしたが，いずれの場合も２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．
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【１】菱形３０面体の体積
ｖ1（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，１／２）
ｖ2（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ３π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ３π／５，１／２）
ｖ3（−τ／２ｓｅｃπ／５，０，１／２）
ｖ4（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ７π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ７π／５，１／２）
ｖ5（τ／２，−τ／２ｔａｎπ／５，１／２）
を頂点とする菱形三十面体の１辺の長さは
｛（τ／２ｓｅｃπ／５）^2＋（１／２）^2｝^1/2＝√５／２
である．
その体積は
菱形面の面積：Ｓ＝τ^3／２（ｔａｎπ／５）^2＝√５／２
菱形面の中心までの距離：Ｈ＝｛（τ／２）^2＋（τ^2／２）^2｝^1/2＝（τ／２）｛（５＋√５）／２｝^1/2
Ｖ＝１／３・Ｓ・Ｈ・３０
として求めることができる．辺の長さを１に規格化すると
Ｖ＝４τ｛（５＋√５）／２｝^1/2
一方，ミンコフスキー和の計算は，
ｖ1（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，１／２）
ｖ2（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ３π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ３π／５，１／２）
ｖ3（−τ／２ｓｅｃπ／５，０，１／２）
ｖ4（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ７π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ７π／５，１／２）
ｖ5（τ／２，−τ／２ｔａｎπ／５，１／２）
ｖ6（０，０，１）
をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（６，３）個の項をもつ．その結果も
Ｖ＝４τ｛（５＋√５）／２｝^1/2
となって，２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．
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【２】菱形２０面体の体積
中心から頂点までの距離がτの正十角形の面積は
５τ^2ｓｉｎπ／５
であるから，高さが√５／２の正十角柱分の体積を差し引くと，菱形２０面体の体積は
Ｖ＝１／３・Ｓ・Ｈ・３０−５√５／２τ^2ｓｉｎπ／５
として求めることができる．辺の長さを１に規格化すると
Ｖ＝２τ｛（５＋√５）／２｝^1/2
すなわち，菱形２０面体の体積は菱形３０面体のちょうど半分となる．
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【３】菱形１２面体（第２種）の体積
菱形十二面体（第２種）については，辺の長さを１に規格化した値で
Ｖ＝４τ／５｛（５＋√５）／２｝^1/2
すなわち，菱形３０面体のちょうど１／５となる．
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【４】菱形六面体の体積
Ａ6（acute）の体積から確認しておきましょう．菱形の対角線の長さを２ｄと２，また，この菱形の鋭角が６０°より大きく９０°より小さいとすると，ｄの取りうる値は
１＜ｄ＜√３
の範囲にあります．
また，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを
ａ↑＝（ｄ，１，０）
ｂ↑＝（ｄ，−１，０）
ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１
とおきます．
このとき，菱形の面積，体積は
Ｓ＝２ｄ，Ｖ＝２ｄｚ
菱形の鋭角をθとおくと
ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ → θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）
で表されます（６０°＜θ＜９０°）．
次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．
ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｄｘ
より
ｘ＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓθ
＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ））
＝（ｄ^2−１）／ｄ
ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2
ベクトルｃ↑とｘ軸のなす角φは
ｃｏｓφ＝ｘ／（ｄ^2＋１）^(1/2)＝（ｄ^2−１）／ｄ（ｄ^2＋１）^(1/2)
で求められますが，このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータｄを用いて表すことができます．
Ｖ＝２ｄｚ＝２ｄ（３−１／ｄ^2）^1/2
を辺の長さ１に規格化すると，
Ｖ＝２ｄ（３−１／ｄ^2）^1/2／（ｄ^2＋１）^(3/2)
ｄ＝τとおくと
Ｖ＝２／５・｛（５＋√５）／２｝^1/2
一方，ミンコフスキー和の計算は，
ｖ1（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，１／２）
ｖ2（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ３π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ３π／５，１／２）
ｖ4（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ７π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ７π／５，１／２）
をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（３，３）個の項をもつ．その結果も
Ｖ＝２／５・｛（５＋√５）／２｝^1/2
となって，２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．
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Ｏ6（obtuse）の体積とＡ6（acute）の体積は等しくはありません．底面積が同じであっても高さが異なるからです．菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを
ａ↑＝（１，ｄ，０）
ｂ↑＝（１，−ｄ，０）
ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１
とおきます．
このとき，菱形の面積，体積は
Ｓ＝２ｄ，Ｖ＝２ｄｚ
菱形の鈍角をθとおくと
ｔａｎ（θ／２）＝ｄ → θ＝２ａｒｃｔａｎ（ｄ）
で表されます．
次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．
ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｘ
より
ｘ＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ
＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（ｄ））
＝１−ｄ^2
ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３ｄ^2−ｄ^4
ベクトルｃ↑とｘ軸のなす角φは
ｃｏｓφ＝ｘ／（ｄ^2＋１）^(1/2)＝（１−ｄ^2）／（ｄ^2＋１）^(1/2)
で求められます．
Ｖ＝２ｄｚ＝２ｄ^2（３−ｄ^2）^1/2
を辺の長さ１に規格化すると，
Ｖ＝２ｄ^2（３−ｄ^2）^1/2／（ｄ^2＋１）^(3/2)
ｄ＝τとおくと
Ｖ＝２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2
一方，ミンコフスキー和の計算は，
ｖ1（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，１／２）
ｖ2（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ３π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ３π／５，１／２）
ｖ3（−τ／２ｓｅｃπ／５，０，１／２）
をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（３，３）個の項をもつ．その結果も
Ｖ＝２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2
となって，２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．
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