１辺の長さ１の立方体の体積は１，正六角柱の体積は３√３／２，切頂八面体の体積は８√２，・・・．平行体の体積計算では，２つの方法

［１］漸化式

［２］行列式

が考えられる．

　今回のコラムでは，２つの方法で計算してみて，ミンコフスキー和が正しく計算されているかどうかを調べてみる．

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【１】菱形十二面体の体積

　　ｖ1（１，１，１）

　　ｖ2（１，−１，１）

　　ｖ3（−１，１，１）

　　ｖ4（−１，−１，１）

を頂点とする菱形十二面体の体積は１６である．

　これは

　　菱形面の面積：Ｓ＝２√２

　　菱形面の中心までの距離：Ｈ＝√２

　　Ｖ＝１／３・Ｓ・Ｈ・１２＝１６

として求めることもできる．辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ＝１６／（√３）^3＝１６√３／９

　一方，ミンコフスキー和の計算は，

　　ｖ1（１，１，１）

　　ｖ2（１，−１，１）

　　ｖ3（−１，１，１）

　　ｖ4（−１，−１，１）

をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（４，３）個の項をもつ．

　実際の計算は阪本ひろむ氏にお願いしたが，その結果も

　　Ｖ＝１６／（√３）^3＝１６√３／９

となって，２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．

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【２】長菱形十二面体の体積

　中心から頂点までの距離が２の正方形の面積は８であるから，高さが√３の正四角柱の体積を加えると，長菱形十二面体の体積は

　　Ｖ＝１６＋８√３

　辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ＝（１６＋８√３）／（√３）^3＝１６√３／９＋８／３

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