ポンスレーの定理とは「小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．」というものです．
ポンスレーの定理は，２つの円を２つの楕円ばかりか，どんな円錐曲線に置き換えても成立します．さらに円を球面上の球帽，ｎ角形を球面上の円弧ｎ角形に置き換えても成立します．
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【１】ポンスレーの定理とオイラー・フースの定理
ポンスレーの定理において，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，
Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2
となることである（オイラーの定理）．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝２ｒが成り立つ．
四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，
２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 （フースの定理）
が成り立つ．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝√２ｒが成り立つ．また，双心四角形の２組の対辺上の内接円の接点を結ぶ線分は互いに直交する．
Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2 （オイラーの定理）
２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 （フースの定理）
は初等幾何学的に大学入試程度の問題に還元できる．
［１］オイラーの定理の証明
内接円の中心を原点にとると，等辺となる直線は
ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｒ
外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，
ｘ1ｃｏｓθ＝ｒ（１＋ｓｉｎθ）
（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ
二等辺三角形の等辺の長さは正弦定理より
ａ／ｓｉｎ（π／２−θ）＝ａ／ｃｏｓθ＝２Ｒ
また，二等辺三角形の半分の直角三角形に注目すると
（Ｒ＋ｄ＋ｒ）／ａ＝ｃｏｓθ
Ｒ＋ｄ＋ｒ＝２Ｒ（ｃｏｓθ）^2
さらに相似三角形より
ｒ／（Ｒ＋ｄ）＝ｓｉｎθ
２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ（ｓｉｎθ）^2
２つの方程式からθを消去すると，オイラーの定理
Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2
が示される．
［２］フースの定理の証明
凧型の代わりに等脚台形を考えることにする．内接円の中心を原点にとると，脚となる直線は
ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｒ
外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｒ）とすると，
ｘ1ｃｏｓθ＝ｒ（１＋ｓｉｎθ）
ｘ2ｃｏｓθ＝ｒ（１−ｓｉｎθ）
これらは
ｘ1ｘ2＝ｒ^2
を満たす．
また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＝Ｒ^2−（ｒ−ｄ）^2
ｘ2^2＝Ｒ^2−（ｒ＋ｄ）^2
ｘ1^2ｘ2^2＝ｒ^4
に代入して整理すると
２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2
が得られる．
フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけたとされるが，彼は本当に基底を見つけたのだろうか？ 大いに疑問感ずる．彼が計算方法を与える方程式を示しただけではなかろうかと思われるのである．フースの論文（Nova Acta Petropol XIII, 1798）を入手するのは難しそうである．そこで，以下では，双心五角形，六角形，七角形，八角形，（九角形，十角形，・・・）の場合を検証してみることにしたい．
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【２】リンク機構とグレブナー基底
複数の棒を互いに結合してできる連接棒を「リンク装置」と呼びます．連接棒の一点を直線や曲線に沿って動かすとき，複雑な変化のある曲線を描くことができます．たとえば，ジェームズ・ワットのリンケージは蒸気エンジンのピストンロッドなどに実用化されています．また，ポースリエの反転器は円運動を直線運動に，直線運動を円運動に変換する機構で，リンク装置の用途は多方面にわたっています．
ところで，連結クランク上の点の軌跡は，一般的な形の多項式
ｆ（ｘ）＝ｃ＋Σｒiｃｏｓ（δi）
ｇ（ｙ）＝ｃ＋Σｒiｓｉｎ（δi）
に書き換えることができますが，これを数式処理ソフトのグレブナー基底計算プログラムを用いて，代数曲線φ（ｘ，ｙ）＝０として表すことができます．
ここでは，平面上で回転できる関節を考えましたが，さらに，回転と同時に伸縮も可能な関節を考えます．すると，オイラー・フースの定理の拡張版は，連立方程式
ｘiｃｏｓθi＋ｙiｓｉｎθi＝ｃi （ヘッセの標準形）
ｘi^2＋（ｙi−ｃi）^2＝γi^2
のグレブナー基底を計算することによって得られることがわかります．
［１］ｎ＝５の場合
内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，
ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ
（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ
また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2
［２］ｎ＝６の場合
内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｒ）とすると，
ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓφ＋ｒｓｉｎφ＝ｒ
また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ3^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2
θとφを消去するにはどうしたらよいか？ 実はこれらに対しては，単純にグレブナー基底を計算せよというコマンドを入力することによって，次の結果が得られた．
［１］双心五角形
ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０
［２］双心六角形
３ｄ^8−４ｄ^6ｒ^2−１２ｄ^6Ｒ^2＋４ｄ^4ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^2＋１８ｄ^4Ｒ^4＋４ｄ^2ｒ^2Ｒ^4−１２ｄ^2Ｒ^6−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０
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［３］ｎ＝７の場合
内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｙ3），Ｄ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，
ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓφ＋ｙ3ｓｉｎφ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓψ＋ｙ3ｓｉｎψ＝ｒ
（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎψ＝ｒ
また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ3^2＋（ｙ3−ｄ）^2＝Ｒ^2
［４］ｎ＝８の場合
内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｙ3），Ｄ（ｘ4，ｒ）とすると，
ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ
ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓφ＋ｙ3ｓｉｎφ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓψ＋ｙ3ｓｉｎψ＝ｒ
ｘ4ｃｏｓψ＋ｒｓｉｎψ＝ｒ
また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ3^2＋（ｙ3＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ4^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2
θとφとψを消去するにはどうしたらよいか？ これらに対しては，単純にグレブナー基底を計算せよというコマンドを入力しても結果は得られす，一工夫が必要であった．なお，グレブナー基底の正誤を確かめるには作図してみるしかないが，これらは実際に作図してみて，正しいことを確認している．
［３］双心七角形
ｄ^12＋４ｄ^10ｒＲ−２４ｄ^8ｒ^3Ｒ＋３２ｄ^6ｒ^5Ｒ−６ｄ^10Ｒ^2−４ｄ^8ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^6ｒ^4Ｒ^2−２０ｄ^8ｒＲ^3＋６４ｄ^6ｒ^3Ｒ^3＋１５ｄ^8Ｒ^4＋１６ｄ^6ｒ^2Ｒ^4＋３２ｄ^4ｒ^4Ｒ^4＋６４ｄ^2ｒ^6Ｒ^4＋４０ｄ^6ｒＲ^5−４８ｄ^4ｒ^3Ｒ^5−３２ｄ^2ｒ^5Ｒ^5−２０ｄ^6Ｒ^6−２４ｄ^4ｒ^2Ｒ^6−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^6−４０ｄ^4ｒＲ^7＋１５ｄ^4Ｒ^8＋１６ｄ^2ｒ^2Ｒ^8＋２０ｄ^2ｒＲ^9＋８ｒ^3Ｒ^9−６ｄ^2Ｒ^10−４ｒ^2Ｒ^10−４ｒＲ^11＋Ｒ^12＝０
［４］双心八角形
ｄ^16−８ｄ^14ｒ^2＋８ｄ^12ｒ^4−８ｄ^14Ｒ^2＋４０ｄ^12ｒ^2Ｒ^2＋４８ｄ^10ｒ^4Ｒ^2−１２８ｄ^8ｒ^6Ｒ^2＋１２８ｄ^6ｒ^8Ｒ^2＋２８ｄ^12Ｒ^4−７２ｄ^10ｒ^2Ｒ^4−２６４ｄ^8ｒ^4Ｒ^4＋１２８ｄ^6ｒ^6Ｒ^4−５６ｄ^10Ｒ^6＋４０ｄ^8ｒ^2Ｒ^6＋４１６ｄ^6ｒ^4Ｒ^6＋１２８ｄ^4ｒ^6Ｒ^6＋１２８ｄ^2ｒ^8Ｒ^6＋７０ｄ^8Ｒ^8＋４０ｄ^6ｒ^2Ｒ^8−２６４ｄ^4ｒ^4Ｒ^8−１２８ｄ^2ｒ^6Ｒ^8−５６ｄ^6Ｒ^10−７２ｄ^4ｒ^2Ｒ^10＋４８ｄ^2ｒ^4Ｒ^10＋２８ｄ^4Ｒ^12＋４０ｄ^2ｒ^2Ｒ^12＋８ｒ^4Ｒ^12−８ｄ^2Ｒ^14−８ｒ^2Ｒ^14＋Ｒ^16＝０
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［２］ｎ＝９の場合
内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｙ3），Ｄ（ｘ4，ｙ4），Ｅ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，
ｘ1ｃｏｓα−ｒｓｉｎα＝ｒ
ｘ2ｃｏｓα＋ｙ2ｓｉｎα＝ｒ
ｘ2ｃｏｓβ＋ｙ2ｓｉｎβ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓβ＋ｙ3ｓｉｎβ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓγ＋ｙ3ｓｉｎγ＝ｒ
ｘ4ｃｏｓγ＋ｙ4ｓｉｎγ＝ｒ
ｘ4ｃｏｓδ＋ｙ4ｓｉｎδ＝ｒ
（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎδ＝ｒ
また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃ，点Ｄとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ3^2＋（ｙ3−ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ4^2＋（ｙ4−ｄ）^2＝Ｒ^2
［６］ｎ＝１０の場合
内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｙ3），Ｄ（ｘ4，ｙ4），Ｅ（ｘ5，ｒ）とすると，
ｘ1ｃｏｓα−ｒｓｉｎα＝ｒ
ｘ2ｃｏｓα＋ｙ2ｓｉｎα＝ｒ
ｘ2ｃｏｓβ＋ｙ2ｓｉｎβ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓβ＋ｙ3ｓｉｎβ＝ｒ
ｘ3ｃｏｓγ＋ｙ3ｓｉｎγ＝ｒ
ｘ4ｃｏｓγ＋ｙ4ｓｉｎγ＝ｒ
ｘ4ｃｏｓδ＋ｙ4ｓｉｎδ＝ｒ
ｘ5ｃｏｓδ＋ｒｓｉｎδ＝ｒ
また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃ，点Ｄとの距離の２乗はＲ^2となることより
ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ3^2＋（ｙ3＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ4^2＋（ｙ4＋ｄ）^2＝Ｒ^2
ｘ5^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2
α，β，γ，δを消去するにはどうしたらよいか？ これらに対しては，コンピュータ計算をもってしてもお手上げであった．
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