【１】シュタイナーの円

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

したがって，ｗ＝０に写されるのはｚ＝−ａ．ｚ→∞に対する極限は１／ａ．ｚ→−１／ａに対する極限は∞．すなわち，ｚ＝−ａは０に写り，ｚ＝−１／ａは∞に写る．ゆえに，ｗ平面の原点を通る直線はｚ＝−ａとｚ＝−１／ａを通る円の像である（−１＜ａ＜０）．

　円の中心は，ｘ＝−（ａ＋１／ａ）／２上にあるから，

　　（ｘ＋（ａ＋１／ａ）／２）^2＋（ｙ−ｙ0）^2＝｛（ａ−１／ａ）／２｝^2＋ｙ0^2

　また，その逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

であるから，ｚ＝０に写されるのはｗ＝ａである．ｗ→∞に対する極限は−１／ａ．ｗ→１／ａに対する極限は∞．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　他方，原点を中心とする同心円｜ｗ｜＝ｋは

　　｜（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）｜＝ｋ

で定義される円の像である．これはｚ＝−ａとｚ＝−１／ａの２点を極限点とするアポロニウスの円である．つまり，ｚ＝−ａとｚ＝−１／ａの２点からの距離の比が一定な点の軌跡である．

　　｜（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）｜＝｜（ｚ＋ａ）｜／｜（ａｚ＋１）｜＝｜（ｚ＋ａ）｜／｜ａ｜｜（ｚ＋１／ａ）｜＝ｋ

より，２点

　　（−ａ，０），（−１／ａ，０）

からの距離の比が｜ａ｜ｋ：１のアポロニウスの円となる．

　　（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2：（ｘ＋１／ａ）^2＋ｙ^2＝ａ^2ｋ^2：１

　　（ｘ−ａ（１−ｋ^2）／（１−ａ^2ｋ^2））^2＋ｙ^2＝｛ｋ^2（１−ａ^2ｋ^2）＋ａ^2（１−ｋ^2）^2｝／（１−ａ^2ｋ^2）^2

　こうして，ｗ＝０を通る直線は（ｙ軸に平行な直線上に中心をもつ）ｚ＝−ａ，ｚ＝−１／ａを通る円に，｜ｗ｜＝ｋはその円に直交する円となる．このような円の族が作る図形を２点−ａと−１／ａで決まるシュタイナーの円という．

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【２】まとめ

　ｗ平面で，円の中心は原点を中心とする半径ｔ＝（Ｒ＋ｒ）／２の円上にある．

　ｗ平面で，すべての円の接点は，

　　（Ｒｃｏｓ（２ｊπ／ｎ＋α），Ｒｓｉｎ（２πｊ／ｎ＋α））

　　（ｒｃｏｓ（２ｊπ／ｎ＋α），ｒｓｉｎ（２πｊ／ｎ＋α））

　　（ｔｃｏｓ（２ｊπ／ｎ±π／ｎ＋α），ｔｓｉｎ（２πｊ／ｎ±π／ｎ＋α））

　　ｔ＝√Ｒｒ

で与えられるが，円の中心は

　　ｔ＝（Ｒ＋ｒ）／２

として，

　　（ｔｃｏｓ（２ｊπ／ｎ＋α），ｔｓｉｎ（２πｊ／ｎ＋α））

　ｋ＝（Ｒ＋ｒ）／２，Ｒ＝１として

　　ｗ1＝（Ｒｃｏｓ（２πｊ／ｎ＋α），Ｒｓｉｎ（２πｊ／ｎ＋α））→ｚ1

　　ｗ2＝（ｒｃｏｓ（２πｊ／ｎ＋α），ｒｓｉｎ（２πｊ／ｎ＋α））→ｚ2

　　ｗ3＝（ｔｃｏｓ（２πｊ／ｎ＋α），ｔｓｉｎ（２πｊ／ｎ＋α））→ｚ3

を計算する方が（その１０８）より格段，計算の省力化がはかれることがわかる．

　ところで，シュタイナー円鎖の性質として，鎖を構成する円の中心はすべてひとつの楕円上にあるというのがあるが，円の間違いではなかろうか？

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