■和算と算額(その9)

 n=3のとき,s+1/s=14

 n=5のとき,s+1/s=22−8√5

である.今回のコラムでは,n=3の場合を取り扱ってみよう.

===================================

 半径1の円の中に半径1/2の円を2つ内接させる.円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は1/3で,2つ内接させることができる.

 デカルトの4円定理において,

  a=1,b=2,c=2

とおくと,

  2(1^2+2^2+2^2+d^2)=(−1+2+2+d)^2

  2(9+d^2)=(3+d)^2

  d^2−6d+9=0

  (d−3)^2=0→d=3

 これはすべての円の曲率は整数値となる例であるが,一般に限られた場合しか曲率は整数にならない.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 互いに外接する半径r1=r1’=r/2の2つの円が,半径rの大円に内接している.半径rn=1/cnの円鎖があるとする.

 a=1/rとして,

  2(a^2+c1^2+cn^2+cn+1^2)=(−a+c1++cn+cn+1)^2

すなわち,

  cn+1^2−2(a+cn)cn+1+10a^2+2cn^2−(a+cn)^2=0

 この式をcnを与えたときのcn+1を与える2次方程式とみれば,2解はcn+1とcn-1となる.したがって,根と係数との関係より,

  cn+1+cn-1=2(a+cn)

となって,漸化式

  cn+1−2cn+cn-1=2a

を得る.これより,

  cn=2a+(n−1)^2a・・・すべての円の曲率は整数値となる

  rn=r/(2+(n−1)^2)

  c1=2a,c2=3a,c3=6a,c4=11a,c5=18a

 さらに半径rn,rn+1,r1’の3つの円に接する半径tn=1/snの円鎖があるとする.

  2(sn^2+c1^2+cn^2+cn+1^2)=(sn+c1++cn+cn+1)^2

  cn=2a+(n−1)^2a

を代入すると

  sn^2−2a(2n^2−2n+7)sn+(4n^2−4n+15)a^2=0

  sn=(4n^2−4n+15)a={(2n−1)^2+14}a・・・すべての円の曲率は整数値となる

  tn=r/{(2n−1)^2+14}

  s1=15a,s2=23a,s3=39a,s4=63a,s5=95a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 半径1の円の中に半径1/2の円を2つ内接させる.円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は1/3で,2つ内接させることができる.さらに,円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は1/6で,4つ内接させることができる.

 デカルトの4円定理において,

  a=2,b=3,c=6

とおくと,

  2(2^2+3^2+6^2+d^2)=(2+3+6+d)^2

  2(49+d^2)=(11+d)^2

  d^2−22d+23=0

  (d+1)(d−23)=0→d=−1,23

 3円の隙間に内接させることのできる円の半径は1/23である(d=−1の方は,3円に外接する円である).

  a=−1,b=2,c=3

として計算すると,

  2((−1)^2+2^2+3^2+d^2)=(−1+2+3+d)^2

  2(14+d^2)=(4+d)^2

  d^2−8d+12=0

  (d−2)(d−6)=0→d=2,6

が得られる.こうして,すべての円の曲率は整数値となることが知られている.

===================================