職場のＵ嬢が「外円内に甲乙乙丙丁の５円が，十字型

　　（甲）

　（乙丁乙）

　　（丙）

に内外接している．外円の直径は６寸，甲円の直径が２寸のとき，丙円の直径を求めよ」という問題を持参．１８３０年一関の和算家・千葉胤秀編集の「算法新書」より出典とある．小生への挑戦状に違いない．

　昨年，シュタイナーの円鎖定理におけるオイラー・フース型定理を導出したことがあり，５分もかからず解答できた．面目躍如．

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　シュタイナーは反転法によって，鎖の間の連結する小円の半径やはじめの２つの円の中心間距離などの条件（オイラー・フース型定理）を求めたといわれている．

　シュタイナーの関係式と同じかどうかはわからぬが，それを再現してみたところ，

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とすると，関係式

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

が成り立つことがわかった．

　この関係式さえ導き出せればあとは簡単で，題意より

　　ｄ＋ｒ＝１

　　ｎ＝４のとき，ｓ＋１／ｓ＝６

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−１８ｒ＋９

　　ｄ^2＝（１−ｒ）^2＝ｒ^2−２ｒ＋１

　　ｒ^2−１８ｒ＋９＝ｒ^2−２ｒ＋１

を解くと，

　　ｒ＝１／２，ｄ＝１／２，ｄ−ｒ＝０

したがって，丙円の直径は外円の半径に等しい．　　（Ａ）３寸

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