デカルトの４円定理（１６４３年）とは，曲率（半径の逆数）をａ，ｂ，ｃ，ｄとおくと，平面上の互いに接し合う４つの円の間に関係式

　　２（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2

が成り立つ（ひとつの円の内側に他の３円が内接しているときが負号をつける）．

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　半径１の円の中に半径１／２の円を２つ内接させる．円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は１／３で，２つ内接させることができる．さらに，円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は１／６で，４つ内接させることができる．

　デカルトの４円定理において，

　　ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝６

とおくと，

　　２（２^2＋３^2＋６^2＋ｄ^2）＝（２＋３＋６＋ｄ）^2

　　２（４９＋ｄ^2）＝（１１＋ｄ）^2

　　ｄ^2−２２ｄ＋２３＝０

　　（ｄ＋１）（ｄ−２３）＝０→ｄ＝−１，２３

　３円の隙間に内接させることのできる円の半径は１／２３である（ｄ＝−１の方は，３円に外接する円である）．

　　ａ＝−１，ｂ＝２，ｃ＝３

として計算すると，

　　２（（−１）^2＋２^2＋３^2＋ｄ^2）＝（−１＋２＋３＋ｄ）^2

　　２（１４＋ｄ^2）＝（４＋ｄ）^2

　　ｄ^2−８ｄ＋１２＝０

　　（ｄ−２）（ｄ−６）＝０→ｄ＝２，６

が得られる．こうして，すべての円の曲率は整数値となることが知られている．

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　互いに外接する半径ｒ1＝ｒ1’＝ｒ／２の２つの円が，半径ｒの大円に内接している．半径ｒn＝１／ｃnの円鎖，さらに半径ｒn，ｒn+1，ｒ1’の３つの円に接する半径ｔn＝１／ｓnの円鎖があるとする．

　ａ＝１／ｒとして，

　　２（ａ^2＋ｃ1^2＋ｃn^2＋ｃn+1^2）＝（−ａ＋ｃ1＋＋ｃn＋ｃn+1）^2

すなわち，

　　ｃn+1^2−２（ａ＋ｃn）ｃn+1＋１０ａ^2＋２ｃn^2−（ａ＋ｃn）^2＝０

　この式をｃnを与えたときのｃn+1を与える２次方程式とみれば，２解はｃn+1とｃn-1となる．したがって，根と係数との関係より，

　　ｃn+1＋ｃn-1＝２（ａ＋ｃn）

となって，漸化式

　　ｃn+1−２ｃn＋ｃn-1＝２ａ

を得る．これより，

　　ｃn＝２ａ＋（ｎ−１）^2ａ・・・すべての円の曲率は整数値となる

　　ｒn＝ｒ／（２＋（ｎ−１）^2）

　一方，

　　２（ｓn^2＋ｃ1^2＋ｃn^2＋ｃn+1^2）＝（ｓn＋ｃ1＋＋ｃn＋ｃn+1）^2

に

　　ｃn＝２ａ＋（ｎ−１）^2ａ

を代入すると

　　ｓn^2−２ａ（２ｎ^2−２ｎ＋７）ｓn＋（４ｎ^2−４ｎ＋１５）ａ^2＝０

　　ｓn＝（４ｎ^2−４ｎ＋１５）ａ＝｛（２ｎ−１）^2＋１４｝ａ・・・すべての円の曲率は整数値となる

　　ｔn＝ｒ／｛（２ｎ−１）^2＋１４｝

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　外円の曲率をｄ＝−６，その中に

　　ａ＝１１，ｂ＝１４，ｃ＝１５

の３円を互いに接し合うように内接させる．この場合も互いの接する４円について

　　２（（−６）^2＋１１^2＋１４^2＋１５^2）＝（−６＋１１＋１４＋１５^2）＝１１５６

の関係が成立している．これはすべての円の曲率は整数値となる例であるが，一般に限られた場合しか曲率は整数にならない．

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