シュタイナーは反転法によって，鎖の間の連結する小円の半径やはじめの２つの円の中心間距離などの条件を求めたといわれている．

　（その１００）において，はじめの２つの円の中心間距離を求めたが，それがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．今回のコラムでは鎖の間の連結する小円の半径を求めてみたい．

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　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

の逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

である．

　　ｚx＝（（−ｘ＋ａ）（ａｘ−１）−ａｙ^2）／Δ

　　ｚy＝−ｙ（ａ（−ｘ＋ａ）＋（ａｘ−１））／Δ

　　Δ＝（ａｘ−１）^2＋（ａｙ）^2

　ｗ＝ｘ＋ｙｉとおくと

　　｜ｗ−ｃ｜＝ｒ　　　（円）

のときは

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ＋ｃx

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ＋ｃy

で与えられる．

　円全体をメビウス変換で移すと描画に時間がかかるが，直径の両端に写像される２点を見つけることは難しい．そこで，４点

　　（ｒ＋ｃx，ｃy），（−ｒ＋ｃx，ｃy），（ｃx，ｒ＋ｃy），（ｃx，−ｒ＋ｃy）

だけをメビウス逆変換で移し，そこから４点を通る円の中心と半径を計算する．

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　鎖の間の連結する小円の半径を計算するには，

　　Ｒ＝１

　　ｒ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

　　ｘ0＝（Ｒ＋ｒ）／２・ｃｏｓ（２πｉ／ｎ＋α）

　　ｙ0＝（Ｒ＋ｒ）／２・ｓｉｎ（２πｉ／ｎ＋α）

として，４点を

　　ｘ＝ｘ0＋（Ｒ−ｒ）／２：ｙ＝ｙ0→（ｚx1，ｚy1）

　　ｘ＝ｘ0−（Ｒ−ｒ）／２：ｙ＝ｙ0→（ｚx2，ｚy2）

　　ｘ＝ｘ0：ｙ＝ｙ0＋（Ｒ−ｒ）／２→（ｚx3，ｚy3）

　　ｘ＝ｘ0：ｙ＝ｙ0−（Ｒ−ｒ）／２→（ｚx4，ｚy4）

　４点を通る円の中心と半径は

　　Ｈ1＝ｚx2−ｚx1，Ｈ2＝ｚy2−ｚy1

　　Ｈ3＝ｚx4−ｚx3，Ｈ2＝ｚy4−ｚy3

　　Ｈ5＝（（ｚx2−ｚx1）^2＋（ｚy2−ｚy1）^2）／２

　　Ｈ6＝（（ｚx4−ｚx3）^2＋（ｚy4−ｚy3）^2）／２

として

　　Ｘ1＝（Ｈ4Ｈ5−Ｈ2Ｈ6）／（Ｈ1Ｈ4−Ｈ2Ｈ3）

　　Ｙ1＝（Ｈ1Ｈ6−Ｈ3Ｈ5）／（Ｈ1Ｈ4−Ｈ2Ｈ3）

　　ｒ1^2＝（Ｘ1−ｚx1）^2＋（Ｙ1−ｚy1）^2＝・・・＝（Ｘ1−ｚx4）^2＋（Ｙ1−ｚy4）^2

で与えられる．

　簡単な形にはならないが，複素数のまま計算した方がエレガントかもしれない．

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