平行体の体積計算では，２つの方法

［１］漸化式

［２］行列式（グラミアン）

が考えられる．置換多面体とその正軸体版の２種類の多面体について，２つの方法で計算したところ，どちらの多面体でも４次元まで［１］［２］は一致したものの５次元以上で乖離してしまった．

　このことは正軸体版については予想されていたものの，置換多面体については想定外だった．［１］を修正してみても［２］の結果と合致しない．そこで，置換多面体とその正軸体版の中心から各面までの距離を元になる正単体と正軸体の中心から各面までの距離と比較することから考え直すことにした．

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【１】正単体の中心から各面までの距離

　ｎ次元正単体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）

　　Ｖ1（１，０，・・・，０，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）

から生成される．これらの頂点間距離は√２である．

　その際，０次元面〜ｎ次元面の中心は

　　｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖr｝

から生成されるので，

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，０）　

　　Ｐn（１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

　したがって，ｎ次元正単体の中心Ｐnとｋ次元面の中心Ｐkとの距離の平方は

　　（ｋ＋１）（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））^2＋（ｎ−ｋ）／（ｎ＋１）^2

＝（ｎ−ｋ）／（ｋ＋１）（ｎ＋１）

　辺の長さを１に規格化すると，ｎ次元正単体の中心Ｐnとｋ次元面の中心Ｐkとの距離は

｛（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）｝^1/2

　これを（その３７）の

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

　　ｈk＝Ｈk｜１−ｙ1｜

と比較して，不等式

　　Ｈk｜１−ｙ1｜≦｛（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）｝^1/2

が常に成り立つことを確認する必要がある．

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【２】正軸体の中心から各面までの距離

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　したがって，ｎ次元正軸体の中心Ｐnとｋ次元面の中心Ｐkとの距離の平方は

　　（ｋ＋１）（１／（ｋ＋１））^2＝１／（ｋ＋１）

　これを（その３７）の

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝ｈk／（２ｎ＋ｎ（ｎ−１）√２）

　　ｈk＝Ｈk（２ｎ＋ｎ（ｎ−１）√２）

と比較して，

　　Ｈk（２ｎ＋ｎ（ｎ−１）√２）≦１／（ｋ＋１）

が常に成り立つことを確認する必要がある．

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