一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．

　　（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2

　ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

５個の互いに外接する球に関しては

　　（Σ１／ｒi）^2＝３Σ（１／ｒi）^2

が成立する．

　　［参］細矢治夫「ピタゴラスの三角形とその数理」共立出版

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【１】デカルトの４円定理（１６４３年）

　曲率（半径の逆数）をａ，ｂ，ｃ，ｄとおくと，平面上の互いに接し合う４つの円の間に関係式

　　２（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2

が成り立つ（ひとつの円の内側に他の３円が内接しているときが負号をつける）．

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【２】アポロニウスのガスケット

　半径１の円の中に半径１／２の円を２つ内接させる．円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は１／３で，２つ内接させることができる．さらに，円内の残りの隙間に内接させることのできる最大の円の半径は１／６で，４つ内接させることができる．

　デカルトの４円定理において，

　　ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝６

とおくと，

　　２（２^2＋３^2＋６^2＋ｄ^2）＝（２＋３＋６＋ｄ）^2

　　２（４９＋ｄ^2）＝（１１＋ｄ）^2

　　ｄ^2−２２ｄ＋２３＝０

　　（ｄ＋１）（ｄ−２３）＝０→ｄ＝−１，２３

　３円の隙間に内接させることのできる円の半径は１／２３である（ｄ＝−１の方は，３円に外接する円である）．

　　ａ＝−１，ｂ＝２，ｃ＝３

として計算すると，

　　２（（−１）^2＋２^2＋３^2＋ｄ^2）＝（−１＋２＋３＋ｄ）^2

　　２（１４＋ｄ^2）＝（４＋ｄ）^2

　　ｄ^2−８ｄ＋１２＝０

　　（ｄ−２）（ｄ−６）＝０→ｄ＝２，６

が得られる．こうして，すべての円の曲率は整数値となることが知られている．

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　外円の曲率をｄ＝−６，その中に

　　ａ＝１１，ｂ＝１４，ｃ＝１５

の３円を互いに接し合うように内接させる．この場合も互いの接する４円について

　　２（（−６）^2＋１１^2＋１４^2＋１５^2）＝（−６＋１１＋１４＋１５^2）＝１１５６

の関係が成立している．これはすべての円の曲率は整数値となる例であるが，一般に限られた場合しか曲率は整数にならない．

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