【１】ロジャース・ラマヌジャン恒等式

　ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表しているのであって，これから

　　Σ(-1)^n･q^(n^2)=(q;q)∞/(-q;q)∞

　　Σq^(n(n+1)/2)=(q^2;q^2)∞/(q;q^2)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞

　　Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

　　Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

などの恒等式が得られる．

　このうち，後６者のｑ恒等式

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞　　（第１恒等式）

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞　　（第２恒等式）

　　Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞

　　Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

　　Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

はロジャース・ラマヌジャン恒等式と呼ばれるものの例である．

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【２】オイラーの５角数公式，ヤコビの３角数公式の一般化

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの５角数定理）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの３角数定理）

　一般に，正の整数ｃに対して

　　Π(1-q^n)^c＝Σamq^m

を求めることは数学者の興味をかきたててきた．オイラー（ｃ＝１），ヤコビ（ｃ＝３），ロジャース，ヘッケ（ｃ＝２），ラマヌジャン（ｃ＝４，６，８），アトキンス（ｃ＝１０，１４，２６），ダイソン（ｃ＝３，８，１０，１４，１５，２１，２４，２６，・・・）

　マクドナルドは１９７２年に

　　ｃ＝ｎ^2＋２ｎ

　　ｃ＝２ｎ^2＋ｎ

　　ｃ＝２ｎ^2−ｎ

に対する一般公式，および，ｃ＝１４，５２，７８，１３３，２４８に対する公式を発見した．

　ロジャース，ヘッケ（ｃ＝２），ラマヌジャン（ｃ＝４），アトキンス（ｃ＝２６）はマクドナルドの公式に含まれていないことを注意．この分野の研究はいまでも続いている．

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