一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．

　　（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2

　ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

５個の互いに外接する球に関しては

　　（Σ１／ｒi）^2＝３Σ（１／ｒi）^2

が成立する．

　デカルトの円定理（１６４３年）はシュタイナー（１８２６年），ビークロフト（１８４２年），ソディー（１９３６年）によって独立に再発見されたというわけである．

［補］ビークロフトの定理

　「４つの円が互いに接している場合，それら４つの円と接点を共有する互いに接する別の４つの円が存在する．」

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【１】反転の応用

　接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．これがシュタイナー円鎖である．

　最も簡単なものとしては，たとえば，半径が３と１の同心円に対しては６個の単位円よりなるシュタイナー円鎖が存在し，円の中心の軌跡は半径２の円となる（円の最密充填）．シュタイナー円鎖をなす円の中心の軌跡は楕円となる．

　アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．この円列の円の中心から基線までの距離は半径の２倍，４倍，８倍，・・・となる（パッポス）．

　ソディー（アイソトープの発見でノーベル賞を受賞した英国の化学者）の６球連鎖はシュタイナー円鎖の３次元版であるが，シュタイナー円鎖の場合とは異なって，球連鎖は常に繋がり必ず６個の球からなる．そして６個の球の中心，球同士の接点はすべて同一平面上にあるのである．

　反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．シュタイナーやソディーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．

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【２】シュタイナーの反転法

　シュタイナー鎖では同心円でなく，また交わりもせずに一方の円が他方の円の中に入っている状態で，この２つの円の間に連結する半径が異なる小円の鎖が内接している．これの３次元版がソディーのhexlet（６球連鎖）である．

　ポンスレーの定理が成り立つような２円を見つけることは容易ではないが，シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．メビウス変換

　　ｚ’＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は円を円に変換する．

　シュタイナーは反転法によって，鎖の間の連結する小円の半径やはじめの２つの円の中心間距離などの条件を求めた．

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［１］反転（円円対応と等角変換）

　ユークリッド平面の反転ではまず定点Ｏを中心とする半径ｒの定円を考えます．点Ｐに対して直線ＯＰ上に

　　ＯＰ・ＯＱ＝ｒ^2

となる点Ｑをとる写像を円Ｏに対する反転といいます．

　平面の反転によって円の内部の点は外部に移り，周上の点はその点自身に，外部の点は内部に移ることは明らかですが，

　(1)点Ｏを通らない円は，Ｏを通らない円に移る

　(2)点Ｏを通る円は，Ｏを通らない直線に移る

　(3)点Ｏを通る直線は，それ自身に移る

　直線および円は直線または円になるというわけですが，直線も半径が無限大の円と考えることができますから，反転の特徴は「円は円に変換される」ということができます．

　空間の反転では円，直線をそれぞれ球面，平面に読みかえればよいので

　(1)点Ｏを通らない球は，Ｏを通らない球に移る

　(2)点Ｏを通る球は，Ｏを通らない平面に移る

　(3)点Ｏを通る平面は，それ自身に移る

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　反転のもう一つの特徴は２曲線のなす角を変化させない「等角写像」であるということです．反転操作は最も簡単な等角変換ですが，多くの等角写像があり，たとえば，球面上の定点Ｏから球面上の任意の点ＰをＯを一端とする直径に垂直な平面に移す極投影も等角変換のひとつとなっています．

　１次分数変換（メビウス変換）

　　ｗ＝ｆ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は複素数球面上で考えると１つの回転に対応していて，たとえば，数ｚを

　　（ｚ−１）／（ｚ＋１）

に置き換えるには，北極と南極が赤道のところにくるように球を９０°回転させればよいのですが，この写像は等角写像になります．

　等角変換は円は円に移り，直線も円へ移るという性質を併せもつというわけです．

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［２］同心円への帰着

　最初の２円の直径端と中心がそれぞれ

　　［−１，０，１］，［α，（α＋β）／２），β］　　　（α＋β＞０）

にあると仮定しても一般性は失われない．

　このとき，

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，ａ，１］に移される．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　［α，β］が［−ｒ，ｒ］に移されるためには，

　　（α＋ａ）／（ａα＋１）＝−（β＋ａ）／（ａβ＋１）

より，ａに関する２次方程式

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に帰着される．

　　ａ＝｛−（１＋αβ）±｛（１−α^2）（１−β^2）｝^1/2｝／（α＋β）

　　ｒ＝｜（α＋ａ）／（ａα＋１）｜＝｜（β＋ａ）／（ａβ＋１）｜

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［３］閉包条件

　これで半径ｒが求まった（Ｒ＝１）．（（１＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（１−ｒ）／２の円が描けることから，１周して鎖が閉じるための条件は，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

が２πの整数分の１のときである．

　また，１周して鎖がうまく閉じないときでも，何周か回った後に閉じることもある．

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

　＝２ａｒｃｔａｎ（（１−ｒ）／２√ｒ）

が２πの有理数倍のときである．

　シュタイナーの定理において，１周して鎖が閉じるための条件は，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

が２πの整数分の１のときであるから，ｎ個の円で１周するならば，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））＝２π／ｎ

　　（１−ｒ）／（１＋ｒ）＝ｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｒ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられる．

　　大円（半径１），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

として，シュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理を導出すると，

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒ（ｓ＋１／ｓ）＋１

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

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