置換多面体の体積公式

　　Ｖn＝（Ｎ0Ｖn-1Ｈ0＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

から，

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２，Ｖ3＝８√２

　同様に，正軸体版の体積公式

　　Λn＝（Ｎ0Λn-1Ｈ0＋Ｎ1Λn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

からは，

　　Λ1＝１，Λ2＝２（√２＋１），Λ3＝２２＋１４√２

と特殊解は計算できるが，一般のｎについての体積公式の導出は難しいものと思われる．

　ｎ→∞のとき，

　　Ｖn-1／Ｖn→α，Ｖn-2／Ｖn→０，Ｖn-3／Ｖn→０，・・・

というラフな仮定をおいて，大雑把に置換多面体の体積を計算してみることも考えられなくもないが，それよりは（ｎ＋１，２）＝ｎ（ｎ＋１）／２次立方体のｎ次元空間の正射影として，体積計算する方法はないものだろうか？

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　０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．

　こうしてｎ次元立方体ができあがるが，ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）を２次元平面上へ正２ｎ角形を外殻とするように直投影することができるが，ここではｎ次元空間上にアフィン射影することを考える．

　ｎ次元立方体は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

からなっている．このうち，頂点は（±１，±１，・・・，±１）であるから，確かに２^n個あることがわかるだろう．ここで考えるべきことは，ｎ次元立方体の各頂点からはｎ本の稜がでるということである．

　ｎ＝８の場合，頂点

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

の稜の対蹠点の座標は

　　（−１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，＋１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，−１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，−１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，＋１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，＋１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，−１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，＋１）

となる．

　ｎ次元立方体の頂点は

　　（±１，±１，・・・，±１）

であるが，原点を（−１，−１，・・・，−１）に移し，１辺の長さを１にすると

　　（０，０，・・・，０，０）

　　（１，０，・・・，０，０）

　　（１，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　（１，１，・・・，１，０）

　　（１，１，・・・，１，１）

の置換でも与えられる．以下，宿題として遺すことにする．

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