（その７５）において，ｍが偶数のとき，

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝mＣm/2・ｎ

が成り立つことをみたが，（ただしｎ＞ｍ／２）という条件がどこから派生するのかは明らかにならなかった．

　今回のコラムでは，もうひとつ積み残しの問題を片づけたい．

　　Σ｜ＱＰj｜^m

の値は

　　ｍ＝１のとき，（正多面体）＞（正多角形）

　　ｍ＝２のとき，（正多面体）＝（正多角形）

　　ｍ＞２のとき，（正多面体）＜（正多角形）

となることがわかっているが，ｍ＜１の場合はどうなるのだろうか？

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【１】ｍ＝０（Ｑ＝ｎ−１）

［１］正四面体　　　：Ｑ＝３

［２］立方体　　　　：Ｑ＝７

［３］正八面体　　　：Ｑ＝５

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１９

［５］正二十面体　　：Ｑ＝１１

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝４

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝１５

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝７

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝２３

［１０］正６００胞体：Ｑ＝１１９

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝５９９

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【２】ｍ＝−１

［１］正四面体　　　：Ｑ＝１．８３７１２＜１．９１４２１

［２］立方体　　　　：Ｑ＝４．９３５１９＜５．６０９７３

［３］正八面体　　　：Ｑ＝３．３２８４３＜３．６５４７

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１５．１５９９＜１９．８６９

［５］正二十面体　　：Ｑ＝８．１９４２１＜９．９６７８７

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝２．２５９８２＜２．７５２７６

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝１１．０５２＜１４．７５７８

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝４．７４２４６＜５．６０９７３

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１７．３６１４＜２５．２３６４

［１０］正６００胞体：Ｑ＝９６．６０９６＜１８７．６６４

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝５０１．３３＜１２４５．６４

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【３】ｍ＝−２（Ｑ＝（ｎ^2−１）／１２）

［１］正四面体　　　：Ｑ＝１，１２５＜１．２５

［２］立方体　　　　：Ｑ＝３．６２５＜５．２５

［３］正八面体　　　：Ｑ＝２．２５＜２．９１６６７

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１３．７５＜３３．２５

［５］正二十面体　　：Ｑ＝６．５＜１１．９１６７

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝１．６＜２

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝８．５８３３３＜２１．２５

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝３．２５＜５．２５

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１３．９１６７＜４７．９１６７

［１０］正６００胞体：Ｑ＝８９．９１６７＜１１９９．９２

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝５２１．２２＜２９９９９．９

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【４】ｍ＝−３

［１］正四面体　　　：Ｑ＝．６８８９１９＜．８３２１０５

［２］立方体　　　　：Ｑ＝２．７６２４８＜５．６０９９９

［３］正八面体　　　：Ｑ＝１．５３９２１＜２．５０９８９

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１４．１１４２＜７９．８８７５

［５］正二十面体　　：Ｑ＝５．４４１５７＜３０．７８４３

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝１．０１１９３＜１．５２１６９

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝７．０１６１２＜４１．４３６４

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝２．２４６３２＜５．６０９９９

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１１．７８５９＜１３６．９７５

［１０］正６００胞体：Ｑ＝９７．３７６４＜１６７６８．３

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝７４８．２５９＜２．０９２３×１０^6

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【５】ｍ＝−４

［１］正四面体　　　：Ｑ＝．４２１８７５＜．５６２４９９

［２］立方体　　　　：Ｑ＝２．１７１８７＜６．５６２４５

［３］正八面体　　　：Ｑ＝１．０６２５＜２．２８４７１

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１６．０９３７＜２２７．７５６

［５］正二十面体　　：Ｑ＝４．７５＜５６．４００８

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝．６４＜１．２

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝６．００６９４＜９４．５６０５

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝１．５６２５＜６．５６２４５

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１０．４５１４＜４６８．７７

［１０］正６００胞体：Ｑ＝１２０．９８５＜２８８１４５

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝１５３１．３２＜１．７９８４３×１０^8

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【６】ｍ＝−５

［１］正四面体　　　：Ｑ＝．２５８３４５＜．３８４３０２

［２］立方体　　　　：Ｑ＝１．７５１０１＜８．０９２７４

［３］正八面体　　　：Ｑ＝．７３８３５７＜２．１５９５３

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１９．８０９９＜６９４．２５２

［５］正二十面体　　：Ｑ＝４．２７２５２＜１０６．３３７

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝．４０４７７２＜．９７１１３３

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝５．３４８５１＜２３０．６５１

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝１．０９１９１＜８．０９２７８

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝９．６０５１１＜１７１４．７

［１０］正６００胞体：Ｑ＝１６６．６０８＜５．２７１９×１０^6

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝４０９６．２９＜１．６４４９３×１０^10

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【７】ｍ＝−６

［１］正四面体　　　：Ｑ＝．１５８２０３＜．２６５６２４

［２］立方体　　　　：Ｑ＝１．４３９４５＜１０．２６５５

［３］正八面体　　　：Ｑ＝．５１５６２５＜２．０８９６８

［４］正十二面体　　：Ｑ＝２５．６４４５＜２１７２．９７

［５］正二十面体　　：Ｑ＝３．９２１８７＜４４７．０１７

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝．２５６＜．７９９９９５

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝４．９１３７７＜５７８．２４７

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝．７６５６２５＜１０．２６５５

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝９．０６１９２＜６４３６．０２

［１０］正６００胞体：Ｑ＝２４５．３０６＜９．８７８５７×１０^7

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝１２７７９．８＜１．５４０７５×１０^12

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【８】まとめ

　　ｍ＜０のとき，（正多面体）＜（正多角形）

　　ｍ＝０のとき，（正多面体）＝（正多角形）

　　ｍ＝１のとき，（正多面体）＞（正多角形）

　　ｍ＝２のとき，（正多面体）＝（正多角形）

　　ｍ＞２のとき，（正多面体）＜（正多角形）

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