単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，ｍ乗和

　　Σ(1,n)｜ＱＰj｜^m

を計算する．

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　　Ｐj（ｃｏｓ２πｊ／ｎ，ｓｉｎ２πｊ／ｎ）

　　Ｑ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　　ＱＰj^2＝２−２ｃｏｓ（２πｊ／ｎ−θ）＝４ｓｉｎ^2（πｊ／ｎ−θ／２）

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝Σ２^mｓｉｎ^m（πｊ／ｎ−θ／２）

　ここで，この式から三角関数を消去する．

　　Θ＝πｊ／ｎ−θ／２

　　ｓｉｎΘ＝（ｅｘｐ（ｉΘ）−ｅｘｐ（−ｉΘ））／２ｉ

［補］この手はオイラー・フースの定理を拡張する際にも用いた．オイラー・フースの定理の拡張では，元の式

　　ｘiｃｏｓθi＋ｙiｓｉｎθi＝ｃi

　　ｘi^2＋（ｙi−ｃi）^2＝γi^2

から座標変数，三角関数を消去することによって得られる．

　　ｓｉｎ^mΘ＝｛（ｅｘｐ（ｉΘ）−ｅｘｐ（−ｉΘ））／２ｉ｝^m

＝（−１）^m/2／２^mΣ（−１）^k・mＣkｅｘｐ（ｋｉΘ）ｅｘｐ（−（ｍ−ｋ）ｉΘ）

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝Σ（−１）^m/2+k・mＣkΣｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉΘ）

＝Σ（−１）^m/2+k・mＣkｅｘｐ（−（２ｋ−ｍ）ｉθ／２）Σｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπｊ／ｎ）

　ｍが奇数のときは

　　（−１）^1/2＝ｉ

　　（−１）^3/2＝−ｉ

　　（−１）^5/2＝ｉ，・・・

であるが，簡単な形になりそうにないので，ｍが偶数の場合を考えることにする．

［１］ｋ≠ｍ／２のとき，

　　Σｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπｊ／ｎ）

＝（ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ）−１）／（ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）−１）・ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）＝０

［２］ｋ＝ｍ／２のとき，Σｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπｊ／ｎ）＝１

より，

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝mＣm/2・ｎ

となる．

　ｍが偶数のとき，

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝mＣm/2・ｎ

が成り立つことをみたが，（ただしｎ＞ｍ／２）という条件がどこから派生するのかは明らかにならなかった．

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