体積計算には垂線の足までの距離だけでなく，垂線の足の座標も必要になります．Ｐnからでるｎ本の辺とＱからでるｎ本の垂線の足を使って体積計算する方法を考えてみましょう．

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【１】垂線の足

　直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に点Ｐ（ｘ0，ｙ0）から下ろした垂線の足をＱ（Ｘ，Ｙ）とすると，

　　ａＸ＋ｂＹ＋ｃ＝０，（Ｙ−ｙ0）／（Ｘ−ｘ0）＝ｂ／ａ

より，

　　ｂ（Ｘ−ｘ0）−ａ（Ｙ−ｙ0）＝０・・・（１）

　また，

　　ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ＝ａｘ0＋ｂｙ0−ａＸ−ｂＹ＝−ａ（Ｘ−ｘ0）−ｂ（Ｙ−ｙ0）

より

　　ａ（Ｘ−ｘ0）＋ｂ（Ｙ−ｙ0）＝−（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）・・・（２）

　（１），（２）より，垂線の足は

　　Ｘ−ｘ0＝ａ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　　Ｙ−ｙ0＝ｂ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　また，点Ｐと直線の距離は（１）（２）の辺々２乗して足すと

　　（ａ^2＋ｂ^2）｛（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2｝＝（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）^2

より，

　　（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2＝｜ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ｜／（ａ^2＋ｂ^2）^1/2　　　（ヘッセの公式）

で与えられます（高次元の場合は推して知るべし）．

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