【１】３^n−１胞体の計量

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ω＝ω

となることが理解される．

　この点からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，・・・，ｗ＝０平面に下ろした垂線の足は，

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，ｚ，，・・・，ｗ）

　　（ｘ，（ｙ＋ｚ）／２，（ｙ＋ｚ）／２，，・・・，ｗ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・・・・・・・・・・・・，０）

となる．

　また，３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，すべての面までの距離を求めてみよう．

［１］（１，１，１）方向の六角形（１象限）

　（ｘ，ｙ，ｚ）→ｙ＝ｚ平面での鏡映（ｙ，ｚ，ｘ）→ｚ＝ｘ平面での鏡映（ｘ，ｚ，ｙ）→（ｚ，ｙ，ｘ）→（ｚ，ｘ，ｙ）→（ｔ，ｘ，ｚ）．

中心は（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３）．

［２］（１，１，０）方向の四角形（２象限にまたがる）

　（ｘ，ｙ，ｚ）→ｘ＝ｙ平面での鏡映（ｙ，ｘ，ｚ）→ｚ＝０平面での鏡映（ｙ，ｘ，−ｚ）→（ｘ，ｙ，−ｚ）．

中心は（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０）．

［３］（１，０，０）方向の八角形（４象限にまたがる）

　（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｙ，−ｚ）→（ｘ，ｚ，−ｙ）→（ｘ，−ｚ，−ｙ）→（ｘ，−ｙ，−ｚ）→（ｘ，−ｙ，ｚ）→（ｘ，−ｚ，−ｙ）→（ｘ，ｚ，ｙ）．

中心は（ｘ，０，０）．

　いくつの象限にまたがるかを含め，一般に

（１，１，・・・，１，１，１）→１通り，１象限

（１，１，・・・，１，１，０）→（ｎ，１）通り，２象限

（１，１，・・・，１，０，０）→（ｎ，２）通り，２^2象限

（１，０，・・・，０，０，０）→（ｎ，ｎ−１）通り，２^n-1象限

　一般に，

［ａ］胞心面までの距離

　胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ

［ｂ］辺心面までの距離

　切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．

［ｃ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．

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【２】体積の検算

　１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２，Ｖ3＝８√２

　同様に１次元正軸体版は線分，２次元正軸体版は正八角形，３次元正軸体版は大菱形立方八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Λ1＝１，Λ2＝２（√２＋１），Λ3＝２２＋１４√２

　３次元の場合，

　　ｚ＝１／（３＋３√２）

　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ＝（１＋２√２）／（３＋３√２）

として，辺の長さは２ｚ，切頂面間距離は２ｘ．辺の長さを１に規格化すると，切頂面間距離は

　　２ｘ／２ｚ＝１＋２√２

　３次元３^n−１面体は大菱形立方八面体であるが，正八角柱と組み合わせることによって空間充填可能となるから，

　　（２＋２√２）^3＝２Λ3＋６Λ2＝５６＋４０√２

となって一致する．

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　大菱形立方八面体は切頂八面体＋立方体と組み合わせても空間充填可能である．

　３次元の場合，

　　ｚ＝１／（３＋３√２）

　　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

として，辺の長さは２ｚ，四角形までの距離は√２（ｘ＋ｙ）／２．辺の長さを１に規格化すると，四角形間距離は

　　√２（ｘ＋ｙ）／２ｚ＝（６＋２√２）ｚ／２ｚ＝３＋√２

　また，

　　２ｘ／２ｚ＝１＋２√２

より

　　（１＋２√２）（４＋√２）^2＝２Λ3＋２Ｖ3＋６＝５０＋４４√２

となって一致する．

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