同じ数学的結果であっても，個人的な趣味（重要度の価値判断）によってはTheoremにもなるし，Propositionにもなるし，Lemmaにもなるし，Corollaryにさえなり得る．したがって，自分が重要と思う結果であっても，査読者によってはまさかのリジェクトを食らわされることもあるし，逆に予想外のアクセプトということもある．数学自身が矛盾を内包しているように思える．
今年はたくさんの論文を仕上げたので，リジェクトされたものも含め，いくつか紹介したい．
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【１】高次元正多面体の元素問題
正多面体についての第１の問題はまず何種類あるかである．３次元には５種類の正多面体がある（ユークリッド）．それでは第２の問題．
［Ｑ］何種類かの凸多面体を使ってすべての正多面体を作りたい．その最小数はいくつか？
［Ａ］４種類．
高次元に拡張すると，
［Ｑ］４次元正多面体元素問題 → ［Ａ］４種類
［Ｑ］ｎ（≧５）次元正多面体元素問題 → ［Ａ］３種類
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【２】高次元の準正多面体
体積の計算が可能でｆベクトルが既知の高次元多面体を仮に「可測多面体」と呼ぶことにするが，可測多面体は正多面体を除いてほとんど知られていない．
［参］石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに対する研究」
の考察はすばらしいの一言につきる．このような立派な研究が行われていたことをまったく知らなかったことを恥じ入るばかりであるが，この論文を読んでみると，高次元準正多面体には３つの重要な可測多面体のクラスがあることが理解される．
［１］空間充填２^n＋２ｎ面体
［２］置換多面体（面数２（２^n−１），頂点数（ｎ＋１）！の空間充填多面体）
［３］面数３^n−１（頂点数２^nｎ！）の多面体
先日，これらについてのセミナーを行ったが，評判が良かったらしいので，現在中断をしている作業を来年早々にも再開したいと考えている．
体積公式の副産物として，スターリングの公式を図形的に近似することができた．また，スターリングの公式の図形的近似に対して，組み合わせ論的近似も可能かもしれない．ｎ^nは｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのinto写像，ｎ！は｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのonto写像であるからだ．
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【３】シェパード問題の解決
シェパード問題とは面正則多面体の展開図が平面充填できるものをすべて決定せよというものである．最終的にはコンピュータ探索が必要となるのであるが，ステファン・ランゲルマン氏によってＪ8が最後のＴＰ多面体であることが証明され，これでＴＰ多面体のリストは２３種類ですべてであると決定された．
もうひとつのＪＺ問題
［Ｑ］正多角形面体のうち，何種類かを用いて空間充填できるものをすべて決定したい．
［Ａ］
(a)立方体だけ
(b)正四面体＋正八面体
(c)Ｊ91充填
・・・・・・・・・・・
は未解決のままである．
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【４】ペンタドロン模型の完成
ペンタドロンは５種類ある平行多面体（１種類のブロックを平行移動させて空間を隙間なく埋め尽くす）を構成できる５面体で，したがって，２３０種類ある結晶をたった１個で構成できる究極の構成原理と呼べるものである．
とはいっても知っている人は（たとえいたとしても）少ないであろうが，先日，イメージミッション社の前畑謙次氏やタミヤ模型のご協力の下，プラスチック性磁石付きのペンタドロン模型が完成した．原資，US patent取得の問題で量産はできていないが，実現すれば認知度も高まるだろうと思う．
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【５】平行多面体の変身
ところで，デュドニー分割では，正三角形の周は正方形の内部に移り，正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されている．この立体版の分割も考えることができる．すなわち，立体Ａの表面が立体Ｂの内部に移り，立体Ｂの表面が立体Ａの内部の点だけから構成されているというものである．
これは「分解合同」よりも格段難しいリバーシブル問題であるが，このような例として秋山仁先生の「キツネヘビ」「ブタハム」があげられる．菱形十二面体や切頂八面体はよく知られた空間充填立体であるが，実際，菱形十二面体と直方体の間の立体蝶番返し，切頂八面体と直方体の間の立体蝶番返しなど空間充填形同士の蝶番返しが作られていて，秋山先生はこのようなリバーシブルな等積変形多面体をすべて決定する試みをされているというわけである．
５種類ある平行多面体相互間の変身１０種とそれ自身への変身５種はすべて可能であることが確認されている．
［１］菱形１２面体→六角柱
［２］切頂８面体→六角柱
［３］長菱形１２面体→六角柱
の変身では，立体Ａの表面は立体Ｂの内部に移り，立体Ｂの表面が立体Ａの内部の点だけから構成されているものの，立体Ａの断面の一部が立体Ｂの内部に残ってしまうことがわかった．完全に表裏を翻転させることはできないのだろうか？
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【６】Ｍｙ未解決問題の解決
［１］周長等分問題
ガウスの円周等分理論「コンパスと定規でｎ等分できるのは，２^2^qi＋１の形をした相異なる素数ｐiにより２^mΠｐiと書かれる場合である」は円関数ばかりでなく他の超越関数，たとえば，
u=∫(0,x)f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)dt
にも応用できる．
周長が
∫1/(1-x^n)^(1/2)dx
で表される曲線について調べた結果
［１］任意等分可能・・・・・・カージオイド
［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート
［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）
［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２）
であった．（これらはどのように特徴づけられるのであろうか？）
２００８年に，レムニスケートサイン関数を用いて，レムニスケートのｎ等分点を計算したが，どうしても５等分点は得られなかった．ワイエルシュトラスのペー関数を使って５等分点を得ることができた．加法定理が幾分簡単になったためである．ワイエルシュトラスのペー関数の勝利といってよいだろう．
［２］オイラー・フースの関係式の拡張
オイラー・フースの定理の拡張版は，連立方程式
ｘiｃｏｓθi＋ｙiｓｉｎθi＝ｃi
ｘi^2＋（ｙi−ｃi）^2＝γi^2
のグレブナー基底を計算することによって得られる．
昨年取り組んで尻切れトンボで終わってしまった双心ｎ角形のグレブナー基底であるが，阪本ひろむ氏の協力二より星形ｎ角形を含め，ｎ＝８まで完全解決できた．
また，ポンスレーの定理でなく，シュタイナーの定理に対するオイラー・フース型関係式を導出することもできた．
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【７】まさかの・・・
［１］アクセプト
単位円に内接する正ｎ角形の対角線の長さのｍ乗和Ｓmについて，ｍが偶数のときは中央２項係数のｎ倍＝（ｍ，ｍ／２）ｎで表される（ｍ＞２ｎ）．
指数を偶数乗和に制限する理由はなく，奇数乗和へと一般化することもできるが，ｍが奇数のときは簡単な式にはならない．
また，単位球に内接する頂点数ｎの任意次元の正多面体について，Ｓmの大小比較をすると
ｍ＝１ 正多角形＜正多面体
ｍ＝２ 正多角形＝正多面体
ｍ＞２ 正多角形＞正多面体
となって，２乗和だけが普遍性をもっていることがわかる．
［２］リジェクト
４次元正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．
このような性質をもつ正多面体は，すべての次元を通じて唯一正６００胞体だけであって，例外中の例外といってもよいものであろう．注目すべきものである．捲土重来．
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【８】寄稿していただいた諸氏諸賢（アルファベット順）
いわまん，一松信，金原博昭，中川宏，阪本ひろむ，佐竹正雄，ＴＮの各氏．
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