ポンスレーの定理が成り立つような２円を見つけることは容易ではないが，シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．メビウス変換

　　ｚ’＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は円を円に変換する．

　２つの定理に共通する特徴は，２つの円が同心円ならば自明であるということである．しかし，ポンスレーの定理では同心円の場合に帰着させても証明することはできないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】反転（円円対応と等角変換）

　ユークリッド平面の反転ではまず定点Ｏを中心とする半径ｒの定円を考えます．点Ｐに対して直線ＯＰ上に

　　ＯＰ・ＯＱ＝ｒ^2

となる点Ｑをとる写像を円Ｏに対する反転といいます．

　平面の反転によって円の内部の点は外部に移り，周上の点はその点自身に，外部の点は内部に移ることは明らかですが，

　(1)点Ｏを通らない円は，Ｏを通らない円に移る

　(2)点Ｏを通る円は，Ｏを通らない直線に移る

　(3)点Ｏを通る直線は，それ自身に移る

　直線および円は直線または円になるというわけですが，直線も半径が無限大の円と考えることができますから，反転の特徴は「円は円に変換される」ということができます．

　空間の反転では円，直線をそれぞれ球面，平面に読みかえればよいので

　(1)点Ｏを通らない球は，Ｏを通らない球に移る

　(2)点Ｏを通る球は，Ｏを通らない平面に移る

　(3)点Ｏを通る平面は，それ自身に移る

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　反転のもう一つの特徴は２曲線のなす角を変化させない「等角写像」であるということです．反転操作は最も簡単な等角変換ですが，多くの等角写像があり，たとえば，球面上の定点Ｏから球面上の任意の点ＰをＯを一端とする直径に垂直な平面に移す極投影も等角変換のひとつとなっています．

　１次分数変換（メビウス変換）

　　ｗ＝ｆ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は複素数球面上で考えると１つの回転に対応していて，たとえば，数ｚを

　　（ｚ−１）／（ｚ＋１）

に置き換えるには，北極と南極が赤道のところにくるように球を９０°回転させればよいのですが，この写像は等角写像になります．

　等角変換は円は円に移り，直線も円へ移るという性質を併せもつというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】同心円への帰着

　最初の２円の直径端と中心がそれぞれ

　　［−１，０，１］，［α，（α＋β）／２），β］　　　（α＋β＞０）

にあると仮定しても一般性は失われない．

　このとき，

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，ａ，１］に移される．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　［α，β］が［−ｒ，ｒ］に移されるためには，

　　（α＋ａ）／（ａα＋１）＝−（β＋ａ）／（ａβ＋１）

より，ａに関する２次方程式

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に帰着される．

　　ａ＝｛−（１＋αβ）±｛（１−α^2）（１−β^2）｝^1/2｝／（α＋β）

　　ｒ＝｜（α＋ａ）／（ａα＋１）｜＝｜（β＋ａ）／（ａβ＋１）｜

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】閉包条件

　これで半径ｒが求まった（Ｒ＝１）．（（１＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（１−ｒ）／２の円が描けることから，１周して鎖が閉じるための条件は，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

が２πの整数分の１のときである．

　また，１周して鎖がうまく閉じないときでも，何周か回った後に閉じることもある．

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

　＝２ａｒｃｔａｎ（（１−ｒ）／２√ｒ）

が２πの有理数倍のときである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝