【１】ｘ^4−４ｘ^2−５＝０

　　ｘ^4−４ｘ^2−５＝（ｘ^2＋１）（ｘ^2−５）＝（ｘ＋ｉ）（ｘ−ｉ）（ｘ＋√５）（ｘ−√５）

より，方程式の解は

　　α1＝ｉ，α2＝−ｉ，α3＝√５，α4＝−√５

である．

　α1^2＋１＝０，α2^2＋１＝０，α3^2−５＝０，α4^2−５＝０であるので，α1＝ｉとα2＝−ｉを入れ替えて計算しても全く差し支えない．また，α3＝√５とα4＝−√５を入れ替えて計算しても全く差し支えないが，α1とα3，α1とα4，α2とα3，α2とα4は入れ替えられない．

　すなわち，代数方程式ｘ^4−４ｘ^2−５＝０のガロア群Ｇは

　　Ｇ＝｛［１２３４］，［２１３４］［１２４３］，［２１４３］｝

で，４次対称群Ｓ4の部分群で，直積Ｓ2×Ｓ2と同型である．

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【２】ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　この方程式の解を

　　α1＝ζ，α2＝ζ^2，α3＝ζ^3，α4＝ζ^4

とおくと，

　　α1^2＝α2，α1^3＝α3，α1^4＝α4，α1^5＝１

である．

　代数方程式ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０のガロア群Ｇは

　　Ｇ＝｛［１２３４］，［２４１３］［３１４２］，［４３２１］｝

で，４次巡回群で，群Ｚ／４Ｚと同型である．

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【３】一般の４次方程式

　一般の４次方程式

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ＝０

のガロア群を考えれば，４次対称群Ｓ4の部分群で，位数は４！＝２４の約数である．

　根と係数の関係

　　α1＋α2＋α3＋α4＝−ｂ／ａ

　　α1α2＋α1α3＋α1α4＋α2α3＋α2α4＋α3α4＝ｃ／ａ

　　α1α2α3＋α1α2α4＋α1α3α4＋α2α3α4＝−ｄ／ａ

　　α1α2α3α4＝ｅ／ａ

を除いて，解の間に代数関係がないからである．

　したがって，代数方程式が特別なものであるばあるほど，そのガロア群は小さくなる（ネーターの定理）．たとえば，４次対称群Ｓ4の部分群で，位数が２の部分群は位数２の元で生成されるから，

　　Ｇ＝｛［１２３４］，［４３２１］｝

となる．

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【４】定規とコンパス

　作図とは加減乗除と平方根であるでることを別表現すると．

　　拡大Ｋi／Ｋi-1は高々２次拡大である．

　これは定規とコンパスで構成できる点は，２直線の交点，直線と円の交点，２つの円の交点であって，各ステップで，２次方程式を解くことができるとき，定規とコンパスで作図可能である．

　ところで，多項式

　　ｘ^4＋２ｘ^2＋１−（４ｘ^3−４ｘ）

　　ｘ^4＋８ｘ−（４ｘ^3−４）

は既約ではない．それぞれ

　　（ｘ−１＋√２）^2（ｘ−１−√２）^2

　　（ｘ−１＋√３）^2（ｘ−１−√３）^2

となり，２次拡大となっていることがわかるのである．

　　４ｙ（１＋ｍｙ＋ｎｙ^2）＝α^2（１−ｎｙ^2）^2

　　円：ｍ＝−１，ｎ＝０，α＝１，ｋ＝０

　　レムニスケート：ｍ＝０，ｎ＝−１，α＝１，ｋ＝ｉ

　　中間曲線：ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2，α＝（４√３−６）^1/2

　　　　　　　ｋ＝（√２＋√６）／４，ｋ^2＝（２＋√３）／４

についても同様であろう．

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