４次方程式までは代数的に解ける．５次方程式はベキ根と加減乗除では解けないが，楕円関数を使って（すべての場合）解けると聞いている（これの論文や公式をみたことはないが・・・）．

　一方，作図とは加減乗除と平方根である．作図可能性の問題と４次方程式までの根の公式とは歴史的にも同期がとれていない．畑が別の問題なのであろう．

　（その８３）で調べたとおり，倍角公式は４次方程式になった．

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ＝０

この４次方程式が加減乗除と平方根の範囲内で代数的に解けるための条件は？

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　結局，カルダノ，フェラーリの公式とにらめっこするしかないのだろうか？

　とすれば，解の中で邪魔なのは（・・・）^1/3と（・・・）^2/3の項である．これらが０となるかあるいはお互いにキャンセルされる条件を列挙すればａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅに関するテスト関数はできることになる．

　しかし，

　　Ｆ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＝０←→Ｆは作図可能

というＦを求めることは難しそうである．

　　Ｆ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＝０　→Ｆは作図可能

というＦを求めるだけならば（ひょっとしたらできるかもしれないが）かなり複雑になりそうである．すぐには着手できないが，熟考してみたい．

［補］１８５８年に，エルミートとクロネッカーは楕円モジュラー関数を使えば５次方程式が解けることをかっけんした．この方法はｎ次方程式にも拡張できることがジョルダンによって実現された．

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