偶数乗和
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ
が成り立つためには，ｎ＞ｍであることが必要となったが，奇数乗和
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）
の場合について調べてみたい．
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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの和を求めよ．
［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→和＝２√３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→和＝２√２＋２．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→和＝２・１＋２√３＋２＝４＋２√３
特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，和＝２となる．一般に対角線や辺の長さは無理数になる．したがって，長さの和も無理数になる．
これらはすべて
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）
を満たしている．
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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの３乗和を求めよ．
［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→３乗和＝２（√３）^3＝６√３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→３乗和＝２（√２）^3＋２^3＝４√２＋８．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→３乗和＝２・１^3＋２（√３）^3＋２^3＝６√３＋１０．
特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，３乗和＝２^3＝８．
これらはすべて
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）
を満たしている．
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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの５乗和を求めよ．
［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→５乗和＝２（√３）^5＝１８√３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→５乗和＝２（√２）^5＋２^5＝８√２＋３２．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→５乗和＝２・１^5＋２（√３）^5＋２^5＝１８√３＋３４．
特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，５乗和＝２^5＝３２．
これらはすべて
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）
を満たしている．
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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの７乗和を求めよ．
［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→７乗和＝２（√３）^5＝５４√３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→７乗和＝２（√２）^7＋２^7＝１６√２＋１２８．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→７乗和＝２・１^7＋２（√３）^7＋２^7＝５４√３＋１３０．
特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，７乗和＝２^7＝１２８．
これらはすべて
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）
を満たしている．
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【１】まとめ
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）
はすべて正しい公式であり，ｎ＞ｍといった必要条件も不要である．
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