（その５３）にて，正多面体が半径１の球に内接しているとき，すべての辺と対角線の長さのｄ乗和（ｄ＝３〜６）を求めた．つねに整数とは限らないが，４乗和＜６ｎ，６乗和＜２０ｎの不等式をみたす．

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＜２ｃｏｔ（π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＜６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＜２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＜７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）

の不等式をみたすことを確認してみたい．

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【１】ｄ＝１

［１］正四面体　　　：Ｑ＝４．８９８９８＞４．８２８４３

［２］立方体　　　　：Ｑ＝１０．３６３１＞１０．０５４７

［３］正八面体　　　：Ｑ＝７．６５６８５＞７．４６４１１

［４］正十二面体　　：Ｑ＝２６．４７２１＞２５．４１２４

［５］正二十面体　　：Ｑ＝１５．７６３８＞１５．１９１５

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝６．３２４５６＞６．１５５３７

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝２１．４１３５＞２０．３０６４

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝１０．４８５３＞１０．０５４７

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝３２．３４１７＞３０．５１４１

［１０］正６００胞体：Ｑ＝１６２．８３２＞１５２．７８

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝８１４．７６６＞７６３．９４３

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【２】ｄ＝３

［１］正四面体　　　：Ｑ＝１３．０６３９＜１３．６５６９

［２］立方体　　　　：Ｑ＝２５．６８２４＜２７．１７０８

［３］正八面体　　　：Ｑ＝１９．３１３７＜２０．３９２３

［４］正十二面体　　：Ｑ＝６４．０２１４＜６７．９０６７

［５］正二十面体　　：Ｑ＝３８．４３３８＜４０．７４６１

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝１５．８１１４＜１７．０１３

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝４９．７５５２＜５４．３２６

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝２４．９７０６＜２７．１７０８

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝７４．５３９８＜８１．４８７７

［１０］正６００胞体：Ｑ＝３７２．５２＜４０７．４３７

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝１８６２．５７＜２０３７．１８

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【３】ｄ＝５

［１］正四面体　　　：Ｑ＝３４．８３７２＜４３．３１３７

［２］立方体　　　　：Ｑ＝７２．９９５６＜８６．９１７２

［３］正八面体　　　：Ｑ＝５４．６４７２＜６５．１７７

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１８２．８４４＜２１７．３

［５］正二十面体　　：Ｑ＝１０９．６９１＜１３０．３７９

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝３９．５２８５＜５４．２８８３

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝１３２．２９５＜１７３．８４

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝６５．９４１１＜８６．９１７２

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１９８．６４９＜２６０．７６

［１０］正６００胞体：Ｑ＝９９３．３６８＜１３０３．８

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝４９６６．８５＜６５１８．９９

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【４】ｄ＝７

［１］正四面体　　　：Ｑ＝９２．８９９２＜１５０．６２８

［２］立方体　　　　：Ｑ＝２２９．１１＜２９８．０１３

［３］正八面体　　　：Ｑ＝１７３．２５５＜２２３．５３１

［４］正十二面体　　：Ｑ＝５６８．９１１＜７４５．０２８

［５］正二十面体　　：Ｑ＝３４１．３７６＜４４７．０１７

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝９８．８２１２＜１８６．３７６

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝３８６．９４４＜５９６．０２２

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝１９５．８８２＜２９８．０１３

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝５７８．００５＜８９４．０３３

［１０］正６００胞体：Ｑ＝２８８９．８＜４４７０．１７

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝１４４４９＜２２３５０．８

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【５】まとめ

　　ｄ＝１のとき，＞

　　ｄ＝２のとき，＝

　　ｄ＞２のとき，＜

となることがわかった．

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